Nerovnice Ekvivalentn pravy 2 Dostupn z Metodickho portlu

Nerovnice Ekvivalentní úpravy - 2. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zopakujme si nejdříve, čemu říkáme rovnice. Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou) tak, aby po jeho dosazení za proměnnou daná rovnost platila. Existuje-li takové číslo, nazývá se řešení nebo také kořen rovnice. 4 x+2 = 6 6=6 Levá strana rovnice = Pravá strana rovnice L = P Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby nastala rovnost? Řešením je tedy číslo . Zapíšeme: x = 4 Zdá se to být jednoduché, že? Ovšem my už víme, že rovnice nejsou vždy tak jednoduché a že u složitějších rovnic a při jejich řešení nám musí pomoci ekvivalentní úpravy. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A nyní tedy, co je to nerovnice. Nerovnice je zápis nerovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny (neznámé), po jejichž dosazení za proměnnou bude daná nerovnost platit. 5 x+2 > 6 7>6 Levá strana nerovnice > Pravá strana nerovnice L > P Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby vzniklá nerovnost platila? Místo znaménka = (rovná se) se v nerovnicích objevují Řešením může být znaménka Je to jediné číslo, které můžeme dosadit? > (je větší než), < (je menší tedy číslo . než), (je větší nebo rovno) Samozřejmě, že ne. Takových čísel, která můžeme dosadit za nebo (je menší nebo rovno). platila, je mnoho, lépe řečeno proměnnou, aby vzniklá nerovnost nekonečně mnoho. Říkáme, že jde o množinu čísel, množinu řešení. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Nerovnice řešíme podobně jako rovnice, to znamená pomocí ekvivalentních úprav, pomocí kterých převádíme nerovnice na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice. Zopakujme si tedy, které ekvivalentní úpravy nerovnic již známe. 1. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu nerovnice a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. 2. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám nerovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. 3. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže od obou stran nerovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Dnes se tedy podíváme na 4. ekvivalentní úpravu a opět budeme vycházet ze srovnání s ekvivalentními úpravami rovnic. 4. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). x+2>6 /. 3 3. (x + 2) > 3. 6 3. (5 + 2) > 3. 6 3. 7 > 18 21 > 18 Opět dosadíme Vynásobíme obě jedno z možných strany nerovnice řešení, tedy číslo 5 číslemzda 3. a ověříme, nerovnost i po provedené úpravě platí. Nerovnost platí, a tak by se mohlo zdát, že i 4. ekvivalentní úprava platí ve stejném znění jako pro rovnice. Zatím jsme si ji však vyzkoušeli jen s kladným číslem. Podívejme se tedy ještě na to, jestli bude platit i s čísly zápornými. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Pokračujeme 4. ekvivalentní úpravou. 4. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). x + 2 > 6 /. (− 3) − 3. (x + 2) < > − 3. 6 − 3. (5 + 2) < > − 3. 6 − 3. 7 < > − 18 − 21 <> − 18 Opět dosadíme Vynásobíme tedy jedno z možných obě strany řešení, tedy číslo 5 nerovnice číslem a ověříme, zda − 3. nerovnost i po provedené úpravě platí. Nerovnost neplatí, a tudíž ani 4. ekvivalentní úprava tak, jak jsme ji používali u rovnic, neplatí, respektive platí jen při násobení kladným číslem nebo mnohočlenem. Nerovnost by nadále platila i při násobení číslem záporným, kdybychom zároveň zaměnili (otočili) i znaménko nerovnosti! Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. A nyní se podíváme ještě na 5. ekvivalentní úpravu. 5. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). x+2>6 /: 2 (x + 2): 2 > 6: 2 (5 + 2): 2 > 6: 2 7: 2 > 6: 2 3, 5 > 3 Opět dosadíme Vydělíme obě jedno z možných strany nerovnice řešení, tedy číslo 5 číslemzda 2. a ověříme, nerovnost i po provedené úpravě platí. Nerovnost platí, a tak by se i nyní mohlo zdát, že i 5. ekvivalentní úprava platí ve stejném znění jako pro rovnice. Zatím jsme si ji však vyzkoušeli opět jen s kladným číslem. Podívejme se tedy ještě i tentokrát na to, jestli bude platit i s čísly zápornými. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. A nyní se podíváme ještě na 5. ekvivalentní úpravu. 5. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). x + 2 > 6 / : (− 2) (x + 2): (− 2) < > 6: (− 2) (5 + 2): (− 2) < > 6: (− 2) 7: (− 2) < > 6: (− 2) − 3, 5 < >− 3 Opět dosadíme Vydělíme obě jedno z možných strany nerovnice řešení, tedy číslo 5 číslem zda - 2. a ověříme, nerovnost i po provedené úpravě platí. Nerovnost neplatí, a tudíž ani 5. ekvivalentní úprava tak, jak jsme ji používali u rovnic, neplatí, respektive platí jen při dělení kladným číslem nebo mnohočlenem. Nerovnost by nadále platila i při dělení číslem záporným, kdybychom zároveň zaměnili (obrátili) i znaménko nerovnosti! Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Jak se tedy změní znění ekvivalentních úprav číslo 4 a 5 pro nerovnice? 4. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže obě strany nerovnice vynásobíme či vydělíme stejným kladným číslem nebo mnohočlenem. 5. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže obě strany nerovnice vynásobíme či vydělíme stejným záporným číslem nebo mnohočlenem a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 4 Vynásobte levou i pravou stranu rovnice kladným číslem (výrazem). Abychom se zbavili dvojky ve jmenovateli zlomku s proměnnou v čitateli, musíme nerovnici vynásobit právě číslem 2. Po úpravě na násobení zlomků můžeme využít krácení do kříže. 4. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže obě strany nerovnice vynásobíme stejným kladným číslem nebo mnohočlenem. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 4 Vynásobte levou i pravou stranu rovnice kladným číslem (výrazem). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 4 Vynásobte levou i pravou stranu rovnice kladným číslem (výrazem). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 4 Vydělte levou i pravou stranu rovnice kladným číslem (výrazem). 4. Abychom se zbavili dvojky před proměnnou, musíme nerovnici vydělit právě ekvivalentní úprava: číslem 2. Dělení přepíšeme do zlomku, přičemž využíváme znalosti, že zlomek je jiným zápisem dělení. Po úpravě na zlomek můžeme využít znalosti krácení zlomků. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže obě strany nerovnice vydělíme stejným kladným číslem nebo mnohočlenem. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 4 Vydělte levou i pravou stranu rovnice kladným číslem (výrazem). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 4 Vydělte levou i pravou stranu rovnice kladným číslem (výrazem). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 5 Vynásobte levou i pravou stranu rovnice záporným číslem (výrazem). -x>-3 -x+x>-3+x 0 + 3 > - 3 + x +3 3>x 5. Abychom se zbavili „znaménka minus“ na obou stranách ekvivalentní úprava: nerovnice, musíme ji vynásobit číslem - 1. Čteme-li tedy zprava platí: - x. (– 1) < > - 3. (- 1) x<3 Nebudeme nerovnici upravovat pomocí ekvivalentní úpravy č. totéž 5, alejako zde, Tedy při 2, čtení zleva: pomocí úpravy č. POZOR! Ještě pořád se vám tzn. díky přičtení xpotřebných je menší než 3. zdá, že. Nesmíte jsme nutnost čísel či výrazů převedeme obrácení znaménka zapomenout na proměnnou vpravo dokonale Tak uža jsem Váshodnotu přesvědčil, že při násobení obrácení číselnou vlevo. nedokázali? Tak to obou stran nerovnice stejným záporným znaménka! zkusíme ještě jednou číslem nebo výrazem musíme obrátit a jinak. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže obě strany nerovnice vynásobíme stejným záporným číslem nebo x je menší než 3. znaménko nerovnosti? mnohočlenem a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 5 Vynásobte levou i pravou stranu rovnice záporným číslem (výrazem). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 5 Vynásobte levou i pravou stranu rovnice záporným číslem (výrazem). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 5 Vydělte levou i pravou stranu rovnice záporným číslem (výrazem). 5. Samozřejmě nesmíme zapomenout na určení podmínek řešitelnosti. V našem případě tedy Abychom vyjádřili na to, že výraz, kterým proměnnou x samostatně, musíme nerovnici vydělit dělíme, se nesmí ekvivalentní úprava: „záporným výrazem“ (– 2 x) rovnat nule, neboť. dělit. nulou nelze Dělení přepíšeme do zlomku, přičemž využíváme znalosti, že zlomek je jiným zápisem dělení. Po úpravě na Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže zlomky obě strany můžeme využít znalosti nerovnice vydělíme stejným záporným krácení číslem nebo zlomků. mnohočlenem a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 5 Vydělte levou i pravou stranu rovnice záporným číslem (výrazem). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Procvičení úpravy č. 5 Vydělte levou i pravou stranu rovnice záporným číslem (výrazem). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Na závěr shrňme všechny ekvivalentní úpravy platné pro nerovnice. 1. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu nerovnice a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. 2. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám nerovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. 3. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže od obou stran nerovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen. 4. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže obě strany nerovnice vynásobíme či vydělíme stejným kladným číslem nebo mnohočlenem. 5. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže obě strany nerovnice vynásobíme či vydělíme stejným záporným číslem nebo mnohočlenem a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. Teorii máme za sebou a teď už tedy vzhůru na složitější a komplikovanější nerovnice. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.