Nerovnice Definin obory Mnoiny een Intervaly Dostupn z

Nerovnice Definiční obory. Množiny řešení. Intervaly. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zopakujme si nejdříve, čemu říkáme rovnice: Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou) tak, aby po jeho dosazení za proměnnou daná rovnost platila. Existuje-li takové číslo, nazývá se řešení nebo také kořen rovnice. 4 x+2 = 6 6=6 Levá strana rovnice = Pravá strana rovnice L = P Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby nastala rovnost? Řešením je tedy číslo . Zapíšeme: x = 4 Zdá se to být jednoduché, že? Ovšem my už víme, že rovnice nejsou vždy tak jednoduché a že u složitějších rovnic a při jejich řešení nám musí pomoci ekvivalentní úpravy. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A nyní tedy, co je to nerovnice. Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů, ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny (neznámé), po jejichž dosazení za proměnnou bude daná nerovnost platit. 5 x+2 > 6 7>6 Levá strana nerovnice > Pravá strana nerovnice L > P Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby vzniklá nerovnost platila? Místo znaménka = (rovná se) Řešenímobjevují může být se v nerovnicích znaménka Je to jediné číslo, které můžeme dosadit? > (je větší než), < (je menší tedy číslo . Samozřejmě, čísel, která můžeme dosadit za než), že (jene. většíTakových nebo rovno) proměnnou, nebo aby vzniklá nerovnost platila, je mnoho, lépe řečeno (je menší nebo nekonečně mnoho. Říkáme, rovno). že jde o množinu čísel, množinu řešení. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Lineární nerovnice je zápis nerovnosti dvou výrazů (v obecném tvaru a. x + b < 0 , kde se mohou vyskytovat znaménka nerovnosti >, <, , ), ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny (neznámé), která splňují danou nerovnost. 2. x + 6 > 0 Nerovnice řešíme stejně jako rovnice (tj. použitím ekvivalentních úprav), až na to, že když násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, tak měníme znaménko nerovnosti (v opačné). Místo znaménka = (rovná se) se v nerovnicích objevují znaménka U nerovnic a určení jejich řešení hraje podstatnou roli i číselný obor, > (je větší než), < (je menší než), ve kterém nerovnici řešíme. (je větší nebo rovno) nebo (je řešíme nerovnici přirozených menší nebovrovno). Jestliže či celých číslech, pak je řešením zpravidla množina prvků. Jestliže řešíme nerovnici v reálných číslech, pak je řešením zpravidla interval. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Číselné obory - opakování. Množiny čísel, na kterých definujeme početní operace. Množina se dá chápat jako soubor prvků (v našem případě čísel). Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný nebo nekonečný. Též nemusí obsahovat prvek žádný, poté mluvíme o prázdné množině. -2, 357 -3 3 1 2 5 4 -1 N -57 Z -2 0 2/9 13 1000000, 008 Q -1/3 R 0, 01 ¶ … Přirozená čísla: 1; 2; 3; 4; 5; … … Celá čísla: … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … … Racionální čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0, 01; 2, 3; … … Reálná čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0, 01; 2, 3; ¶; 13 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Definiční obor Součástí zadání nerovnice bývá i obor proměnnosti, který dohromady s podmínkami řešitelnosti dává obor definiční. Obor proměnnosti je obor, v němž chceme nerovnici řešit. Např. : Vyřeš nerovnici v množině přirozených čísel … zápis: x N Vyřeš nerovnici v množině celých čísel … zápis: x Z Vyřeš nerovnici v množině záporných reálných čísel … zápis: x R- Definiční obor nerovnice určuje všechny přípustné hodnoty, kterých může nabýt řešení nerovnice, tj. obor, v němž má nerovnice smysl. Obor hodnot (pravdivosti) je množina kořenů nerovnice, jinými slovy množina všech možných řešení nerovnice. Jejich zápis pak může vypadat například následovně: x N x R+ x {1; 2; 3} x (-6; 6) Nyní si tedy musíme vysvětlit, kdy, proč a který z těchto zápisů použijeme. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Výsledek řešení nerovnice zpravidla znázorňujeme graficky, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Číselnou osu jste jistě poznali. Pozn. : Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením (oborem hodnot - pravdivosti), jak jsme si již naznačili na předchozím snímku celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešení čteme: x je rovno nebo větší, případně naopak větší nebo rovno, než - 4. Co to znamená? Krajním bodem intervalu je číslo - 4, které je také řešením (kolečko vyplněné). x − 4 Znamená to, že řešením je číslo 4 a všechna reálná čísla větší než - 4. Kde najdeme taková čísla na číselné ose? Není-li již v zadání nerovnice omezen obor proměnnosti, znamená to, že máme rovnici řešit v množině všech reálných čísel, tzn. x R. Jsou to všechna čísla na číselné ose vpravo od 4 až do nekonečna (množina čísel – Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. interval). Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x − 4 Interval zleva uzavřen. To znamená, že krajní bod, v tomto případě číslo – 4, je také řešením nerovnice stejně tak jako všechna čísla větší. Interval zprava otevřen. Není-li množina řešení ukončena a jde do nekonečna, je interval na této straně vždy otevřen. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x − 4 Napiš tedy pár čísel, která vyhovují nerovnici, jinými slovy jsou řešením dané nerovnice. -1 37 4/5 -4 23 120000 120, 08 -2, 5 -3, 999 0, 345 55, 23 -4/450 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x<2 Řešení čteme: x je menší než 2. Co to znamená? Znamená to, že řešením jsou čísla menší než 2. Kde najdeme taková čísla na číselné ose? Opět platí, že není-li již v zadání nerovnice omezen obor proměnnosti, znamená to, že máme rovnici řešit v množině všech reálných čísel, tzn. x R. Krajním bodem intervalu je číslo 2, které ovšem řešením není (kolečko prázdné)! Jsou to všechna čísla na číselné ose vlevo od 2 až do nekonečna („mínus nekonečna“). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x<2 Interval zprava otevřen. Interval zleva otevřen. Není-li množina řešení ukončena a vychází z nekonečna, je interval na této straně vždy otevřen. To znamená, že krajní bod, v tomto případě číslo 2, není řešením nerovnice na rozdíl od čísel menších (posledním číslem, které je ještě řešením, je tedy číslo 1, 9999… ). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x<2 Napiš tedy pár čísel, která vyhovují nerovnici, jinými slovy jsou řešením dané nerovnice. -1 - 37 4/5 -4 0 -120000 -120, 08 -2, 5 -3, 999 0, 345 -2 -4/450 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v N. Řešení čteme: x je rovno nebo větší, případně naopak větší nebo rovno, než 0. Co to znamená? Krajním bodem intervalu by v R bylo číslo 0. Jelikož nerovnice má být řešena v N, budou řešením jen přirozená čísla patřící do znázorněného intervalu. x 0 Znamená to, že řešením v množině všech reálných čísel by bylo číslo 0 a všechna čísla větší než 0. Kde najdeme taková čísla na číselné ose? Tentokrát je již v zadání nerovnice omezen obor proměnnosti, což znamená, že máme nerovnici řešit v množině přirozených čísel, tzn. x N. Jsou to všechna čísla na číselné nebo ose vpravo od 0 až do nekonečna. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v N. x 0 nebo Zápis množiny prvků (bodů, čísel) (čísla 1, 2, 3 atd. až do nekonečna). Zápis množiny všech prvků (bodů, čísel) dané vlastnosti (všechna přirozená čísla). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v N. x 0 nebo Napiš tedy pár čísel, která vyhovují nerovnici, jinými slovy jsou řešením dané nerovnice. 1 45 37 5 4 3 100 345 120 450 120000 2 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Zápis můžeme rozdělit na dva zápisy samostatné, platící zároveň. − 4 x<2 x − 4 x<2 Řešením je průnik znázorněných množin. Čteme: x je větší nebo rovno než – 4 a zároveň x je menší než 2. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 4 x<2 x − 4 x<2 Interval zprava otevřen. Interval zleva uzavřen. To znamená, že krajní bod, v tomto případě číslo – 4, je také řešením nerovnice. To znamená, že krajní bod, v tomto případě číslo 2 není řešením nerovnice (posledním číslem, které je ještě řešením, je číslo 1, 9999… ). Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 4 x<2 x − 4 x<2 Napiš tedy pár čísel, která vyhovují nerovnici, jinými slovy jsou řešením dané nerovnice. -1 √ 2 4/5 0, 00005 -4 0 -1, 08 -2, 5 -3, 999 -2 0, 345 -4/9 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v R. − 8<x Klikněte pro zobrazení výsledku Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v R. − 8<x Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x − 1 Klikněte pro zobrazení výsledku Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x − 1 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 8<y<0 Klikněte pro zobrazení výsledku Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 8<y<0 y>− 8 y<0 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v Z. − 3 x<5 Klikněte pro zobrazení výsledku Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v Z. − 3 x<5 x − 3 x<5 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: 3<a − 7 Klikněte pro zobrazení výsledku Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: 3<a − 7 a>3 Množiny nemají společný průnik, neexistuje společná množina. a − 7 Prázdná množina, nerovnice nemá řešení. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Tak teorii máme za sebou! Víme, co jsou nerovnice, známe ekvivalentní úpravy používané při řešení nerovnic, víme, co jsou „obory“, víme, co jsou intervaly řešení. Nyní tedy vzhůru na příklady a řešení nerovnic. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.