MHENDSLKTE SAYISAL YNTEMLER Ksmi Diferansiyel Denklemler Yrd Do

MÜHENDİSLİKTE SAYISAL YÖNTEMLER Kısmi Diferansiyel Denklemler Yrd. Doç. Dr. Nurdan Bilgin

Kısmi Diferansiyel Denklemler •

Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözüm Yöntemleri • Hiperbolik denklemlerin çözümünde sonlu eleman yöntemleri kullanılır. • Sonlu eleman yöntemi, çözüm bölgesini basitçe şekillendirilmiş parçalara veya “elemanlara” ayırır, her bir elemanda KDD’nin çözümü yapılır, daha sonra birleşik çözüm eleman sınırlarında süreklilik sağlanmasına dikkat edilerek bir araya getirilir. Şekilde geometrisi düzensiz ve bileşimi homojen olmayan yani üç farklı materyalden oluşan bir conta görülmektedir. Bu tür sistemleri, (b)’de gösterilen sonlu fark yaklaşımıyla modellemek çok zordur. Bunun nedeni, sistemin sınırlarında ve farklı bileşimler arasındaki sınırlarda karmaşık yaklaştırmaların gerekli olmasıdır. (c)’de gösterilen sonlu eleman ayrıklaştırması bu tür sistemlere çok daha iyi uyar.

Sonlu Eleman Yöntemi • Kitabımızın bu bölümü, sonlu elemanlar yöntemine bir giriş niteliği taşımaktadır. • Amacın, yöntemi tanıtmak ve sonlu elemanlar yönteminin yetenekleri konusunda okuyucuyu haberdar kılmak olduğu ifade edilmektedir. • Bu sayede ileri uygulamalar için bir alt yapı oluşmuş olacaktır. • Bu derste üzerinde duracağımız konular; ▫ ▫ Genel Yaklaşım Bir Boyutta Sonlu Eleman Uygulaması İki Boyutlu Problemler Excel ve Matlab Uygulamaları

Genel Yaklaşım • Sonlu Elemanlar Yöntemi adım ilerleyen bir süreçtir. ▫ ▫ ▫ Ayrıklaştırma Eleman Denklemleri Birleştirme Sınır Koşulları Çözüm Son İşleme • Önce bu adımlar sırasıyla açıklanacak • Ardından da bir boyutlu ve iki boyutlu örnek mühendislik problemleri üzerinde uygulaması gösterilecektir. • Son olarak, paket programların kullanılmasına ilişkin birkaç şey aktarılacaktır.

Genel Yaklaşım: Ayrıklaştırma • Bu adım, çözüm bölgesinin sonlu elemanlara bölünmesini içermektedir. Yandaki şekilde bir, iki ve üç boyutta uygulanan eleman örneklerini gösterilmektedir. • Elemanın kenarlarını oluşturun doğruların kesişme noktaları düğüm noktası olarak bu kenarların kendileri ise düğüm noktası doğruları veya düzlemleri diye adlandırılır.

Genel Yaklaşım: Eleman Denklemleri •

Genel Yaklaşım: Eleman Denklemleri •

Genel Yaklaşım: Eleman Denklemleri •

Genel Yaklaşım: Eleman Denklemleri •

Genel Yaklaşım: Eleman Denklemleri • Fonksiyonun Çözüme Optimum Uyumunun Elde Edilmesi: İnterpolasyon fonksiyonu bir kez seçildikten sonra, elemanın davranışını gösteren denklemler geliştirilmek zorundadır. • Bu denklem, incelenen diferansiyel denklem çözümüne fonksiyonun uygunluğunu göstermektedir. • Bu amaca yönelik yöntemler arasında en çok kullanılanlar: ▫ doğrudan yaklaşım ▫ Ağırlıklı artıklar yöntemi ve ▫ varyasyonel yaklaşım yöntemidir. • Bu yöntemlerin amacı, (*) denkleminde yer alan ve incelenen KDD’yi optimum şekilde sağlayan bilinmeyen katsayılar arasındaki bağıntıyı belirlemektir.

Genel Yaklaşım: Eleman Denklemleri •

Genel Yaklaşım: Birleştirme •

Genel Yaklaşım: Sınır Koşulları, Çözüm ve Son İşleme •

Bir Boyutta Sonlu Eleman Uygulaması •

Bir Boyutta Sonlu Eleman Uygulaması • Ayrıklaştırma: Sistemi modellemek için basit bir eleman modeli kullanıyoruz. • Yandaki şekilde görüleceği gibi sistemi 4 elemandan ve 5 düğüm noktasından oluşacak şekilde modelliyoruz.

Bir Boyutta Sonlu Eleman Uygulaması •

Bir Boyutta Sonlu Eleman Uygulaması •

Bir Boyutta Sonlu Eleman Uygulaması •