Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen

Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen 21. 05. 2007 Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

Methoden der Psychologie Multivariates Testen MANOVA Multivariate Varianzanalyse (MANOVA) Ziele • Mehrgruppen / Mehrfaktorenvergleiche von Messungen auf mehreren abhängigen Variablen. • Vermeidung von Entscheidungsfehlern durch fälschliche implizite Unabhängigkeitsannahme bei univariater Abtestung der einzelnen abhängigen Variablen. • Vermeidung der Probleme durch multiples Testen durch Verwendung eines einzigen Tests für das gesamte Design. • Verbesserte Teststärke und Validität bei Verwendung von Testbatterien und (mäßig) korrelierten Profilskalen. Voraussetzung • Gleiche (homogene) Varianz-Kovarianz Matrizen (Sj) in allen Gruppen. • Testungen der Gruppenunterschiede (Centroide), sowie der Homogenität der Sj - Matrizen erfordern die Gültigkeit der multivariaten Normalverteilung.

Methoden der Psychologie Ansatz Multivariates Testen MANOVA • Vergleich der Quadratsummen für „between“ und „within“ Group Varianz, erzeugt aus allen Variablenkomponenten. • Statistik erhält man ebenso über Eigenwertzerlegung einer aus B und W Komponenten zusammengesetzten Matrix. Anwendung • Allgemein: Experimentelle Analyse im Rahmen von multidimensionalen Evaluationsstudien. • Multiple Effektivitätsstudien. Nachweise der Veränderung von Profilen durch experimentelle oder therapeutische Intervention in repeated measurement Designs. • Untersuchung differentieller Effekte auf mehren Ebenen (Mehrebeneanalyse). (Z. B. Arbeitszufriedenheit auf 3 Hierachieebenen untersuchen). Nachteile • Restriktion gleicher Varianz-Kovarianz Matrizen in allen Gruppen. • Auswirkung der Verletzung der Annahme der multivariaten Normalverteilung schwer abzuschätzen.

Methoden der Psychologie MANOVA 2 D Beispiel 2 D-Beispiel 3. 5 Regression nüchtern Fahrleistung: X 2 3. 0 Regression 1 Promill 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0 0. 5 Promill 0. 5 1 Promill 0. 0 1. 0 2. 0 3. 0 4. 0 5. 0 6. 0 7. 0 Koordination: X 1 Prototypische Datensituation • Generell: g- Gruppen gemessen auf p Variablen. Hier g=2, p=2, Koordination (X 1) und Fahrleistung (X 2) • Gleiche Regressionssteigungen und gleiche Varianzen in den Gruppen auf beiden Variablen (Homogenität der Varianzen und Covarianzen) • Stichprobendaten entstammen multivariat normalverteilten Populationen.

Methoden der Psychologie 2 D-Beispiel MANOVA 2 D Beispiel Fahrleistung: X 2 Regression 0. 5 Promill Regression 1 Promill 0. 5 Promill 1 Promill Koordination: X 1 1 D - Testen unzulänglich • Univariat sind die Rohwertverteilungen nicht gut getrennt, und daher ebenfalls nicht die Mittelwerteverteilungen (hohes N nötig für signifikante Gruppenunterschiede in den Kennwerteverteilungen) • Signifikanzurteile sind unabhängig und führen zu p Signifikanzaussagen, obwohl nur eine erwünscht ist • Information der gleichen Beziehung zwischen den abhängigen Variablen (gleiche Korrelation) wird nicht genutzt.

Methoden der Psychologie 2 D-Beispiel MANOVA 2 D Beispiel Fahrleistung: X 2 Regression 0. 5 Promill Regression 1 Promill 0. 5 Promill 1 Promill Koordination: X 1 2 D - Testen Ausgangslage • 2 D 95% Quantile zeigen an, daß die Mittelwerte der jeweils anderen Gruppe nicht mehr im Konfidenzbereich der Rohwerte liegen (bei den univariaten Verteilungen liegen sie darin) • Orthogonal zur Hauptvarianzrichtung der Ellipsen bestehen optimale Trennbedingungen für die Mittelwerte MANOVA • Ein Test, in den die Korrelation der beiden Variablen eingeht, hat daher optimale Chancen, Unterschiede der Centroide aufzudecken.

Methoden der Psychologie Problem MANOVA 1. One-Way MANOVA Unterscheiden sich g unabhängige Populationen in ihren auf p Variablen gemessenen Centroiden ? Konstanten g = Anzahl Gruppen n = Snl = n 1 + n 2 +…ng p = Anzahl Variablen Population 1: Population 2: Indices Population g: Annahmen i : Fälle (Personen) l : Gruppen 1. Die Samples X 1 l, X 2 l, …, Xnll sind Zufallsstichproben der Größe nl mit einem Populationszentroiden ml. Die Zufallsstichproben sind unabhängig. 2. Alle Populationen haben dieselbe wahre Varianz-Covarianzmatrix S. 3. Jede Population ist p- variat normalverteilt.

Methoden der Psychologie MANOVA 1. One-Way MANOVA Datenschema Population 1: Case Population 2: Population g: xilj Group Var Parameterschätzer Zu prüfende Annahmen … Homogenität der Varianz-Covarianz-Matrizen und p-variate Normalverteilung der Stichprobenwerte

Methoden der Psychologie MANOVA Modell MANOVA 1. One-Way MANOVA Additives Modell zum Vergleich von Centroiden aus g Populationen mit eil unabhängigen und N(0, S) verteilten Fehlerkomponenten. Additive Zerlegung Beobachtung Grand Mean Treatmenteffekt Fehlerkomponente Grand Mean abziehen, Kreuzprodukt bilden , und summieren über Fälle ergibt: p x p Matrizen Totale QS und Kreuzprodukte 1 D Analog Treatment QS und Kreuzprodukte Fehler QS und Kreuzprodukte

Methoden der Psychologie 1. One-Way MANOVA p x p Matrizen Hierin sind die x Vektoren mit p Komponenten (Variablen): Regel Matrix-Notation Additivität der Variation Die Matrizen B und W werden als inneres Produkt (Zeilen- mal Spalten) der Variablen-Vektoren aufgebaut und dann über Fälle und Gruppen summiert. Sie sind stets p x p Matrizen. Es gilt: Totale QS und Kreuzprodukte Within Group QS und Kreuzprodukte Between Group QS und Kreuzprodukte

Methoden der Psychologie W-Matrix aus gepoolten S - Matrizen B-Matrix (p=2 Vars Beispiel) MANOVA 1. One-Way MANOVA mit Sl der Varianz-Covarianz Matrix in Gruppe l. Treatment (Group) Quadratsummen & Kreuzprodukte x 1 x 2 Komponenten Var Group Var

Methoden der Psychologie MANOVA Table Test-Statistik MANOVA 1. One-Way MANOVA Source of Variation Matrix of SS & Cross. Products (SSP) Treatment B Error W Total M=B+W Degrees of Freedom g- 1 n- 1 Die H 0: t 1 = t 2 = … = tg = 0 wird abgelehnt, wenn (Quotient der generalisierten Varianzen, „Wilk‘s Lambda“) zu klein wird. Alternative Berechnung mit s der Rang der Matrix W-1 B und li ihr i-ter Eigenwert

Methoden der Psychologie c 2 - Test der MANOVA 1. One-Way MANOVA Lehne H 0 ab, wenn Wilks Statistik (c 2 Verteilung mit p(g-1) Freiheitsgraden, Bartlett) Für p < 3 und g < 3 sind F-Tests üblich. Bartletts Test ist für größere Stichproben und eine größere Anzahl Variablen exakt. Simultane Kontraste Als Kontraste sind Wilks-Tests oder Hotellings T 2 gebräuchlich: ist verteilt wie mit Vorteil der MANOVA (Höhere Freiheitsgrade)

Methoden der Psychologie 1. One-Way MANOVA Voraussetzung Homogene S – Matrizen Prüfgröße Box-M Test ist c 2 verteilt mit p(p+1)(g-2)/2 Freiheitsgraden Voraussetzung und Probleme der Prüfung MANOVA Der Test setzt multivariat normalverteilte Populationen voraus. Ebenso sollte die Anzahl der Messungen in den Gruppen >20 und die Anzahl der Variablen < 5 sein. Testung über die Homogenität der Korrelationsmatrizen (Residualanalyse) prüft nur die Homogenität der Covarianzen, nicht der Varianzen. Diese können aber mit einem Bartlett Test Gesondert auf Homogenität geprüft werden.