Mathematik LG 7 Thema Inkreis und Umkreis konstruieren

Mathematik LG 7 Thema: Inkreis und Umkreis konstruieren (E-Niveau) (Bezug zum Buch: Klett, Schnittpunkt Mathematik 7 B-W, S. 64 -65) S. Ebner Pestalozzi-GMS

Darum geht es … Ihr habt euch bereits damit beschäftigt, was Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende sind und wie man sie mit dem Geodreieck zeichnet. Im Folgenden geht es darum, wie man diese besonderen Linien im Dreieck auch ohne Geodreieck, aber dafür mit Lineal und Zirkel konstruieren kann. Außerdem soll geklärt werden, was das mit dem Inkreis und Umkreis zu tun hat. Aber alles der Reihe nach… 2

1. Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal Die Mittelsenkrechte einer Strecke lässt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren. Man braucht dazu kein Geodreieck: Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten haben den gleichen Abstand zu A und B. Umgekehrt gilt auch, dass alle Punkte, die den gleichen Abstand zu A und B haben, auf der Mittelsenkrechten liegen. Die ausführliche Begründung dazu findest du im Buch auf S. 64. 3

1. Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal Versuche nun selbst eine Mittelsenkrechte zu konstruieren. 1. Zeichne eine beliebig lange Strecke AB. 2. Zeichne um A einen Kreis (Der Radius muss länger sein als die halbe Strecke). 3. Zeichne im gleichen Radius einen Kreis um B. 4. Wenn du die beiden Schnittpunkte der Kreise miteinander verbindest, erhältst du die Mittelsenkrechte. 5. Die Mittelsenkrechte schneidet die Strecke AB im Mittelpunkt M von AB. 4

2. Umkreis eines Dreiecks konstruieren Jetzt weißt du, wie man eine Mittelsenkrechte konstruiert. Bei einem Dreieck lässt sich zu jeder drei Seiten eine Mittelsenkrechte konstruieren. Das sieht dann ungefähr so aus: C A B Die Mittelsenkrechten schneiden sich im Schnittpunkt U. Verbindet man diesen Schnittpunkt mit den Punkten A, B und C, stellt man fest, dass diese Strecken jeweils gleich lang sind. 5

2. Umkreis eines Dreiecks konstruieren C Woran liegt das? Wir wissen bereits: Alle Punkte einer Mittelsenkrechten sind gleich weit von den beiden Endpunkten der Strecke entfernt. A B Da sich im Schnittpunkt U alle Mittelsenkrechten treffen, haben zu diesem Punkt alle drei Eckpunkte des Dreiecks den gleichen Abstand. Etwas komplizierter ausgedrückt kannst du das im Buch auf Seite 64 nachlesen. 6

2. Umkreis eines Dreiecks konstruieren C Der Umkreis Da der Schnittpunkt U gleich weit von A, B und C entfernt ist, lässt sich um diesen Punkt ein Kreis zeichnen, auf dem die Punkte A, B und C liegen. A B Man nennt diesen Kreis den Umkreis des Dreiecks. Der Punkt U heißt Umkreismittelpunkt. 7

3. Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal Auch Winkelhalbierende lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren. Man braucht dazu kein Geodreieck und kann sich das Messen und Einzeichnen des Winkels ersparen. So funktioniert es: Die ausführliche Begründung zur Konstruktion findest du im Buch auf S. 65. 8

Versuche nun selbst eine Winkelhalbierende zu konstruieren. 1. Zeichne einen Winkel mit seinen beiden Schenkeln. 2. Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt. Dieser Kreis schneidet die beiden Schenkel (in der Abbildung P und Q genannt). 3. Zeichne einen Kreis um den Punkt Q (Der Radius muss innerhalb des Winkels liegen und größer als die halbe Strecke zum anderen Schenkel sein). 4. Zeichne im gleichen Radius einen Punkt um P. Die beiden Kreise schneiden sich innerhalb des Winkels im Punkt C. 5. Verbinde den Punkt C mit dem Scheitelpunkt S des Winkels. So erhältst du die Winkelhalbierende. 9

3. Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal Wie bei der Mittelsenkrechten haben auch die Punkte auf Winkelhalbierenden bestimmte Eigenschaften: Liegt ein Punkt auf einer Winkelhalbierende, hat er von den Schenkeln des Winkels denselben Abstand. Hat umgekehrt ein Punkt von den Schenkeln denselben Abstand, liegt er auf der Winkelhalbierenden. 10

4. Inkreis eines Dreiecks konstruieren C Jetzt weißt du, wie man eine Winkelhalbierende konstruiert. Bei einem Dreieck lässt sich zu jedem der drei Winkel eine Winkelhalbierende konstruieren. Das sieht dann ungefähr so aus: Die Winkelhalbierenden schneiden sich im Schnittpunkt I. A B Wir wissen bereits: Alle Punkte einer Winkelhalbierenden sind gleich weit von den beiden Schenkeln des Winkels entfernt. Da sich im Schnittpunkt I alle Winkelhalbierenden treffen, hat dieser Punkt zu allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. (Etwas komplizierter ausgedrückt kannst du das im Buch auf Seite 65 nachlesen. ) 11

4. Inkreis eines Dreiecks konstruieren C Der Inkreis Da der Schnittpunkt I gleich weit von den drei Seiten des Dreiecks entfernt ist, lässt sich um diesen Punkt ein Kreis zeichnen, der alle drei Seiten tangiert (berührt). Man nennt diesen Kreis den Inkreis des Dreiecks. A B Der Punkt I heißt Inkreismittelpunkt. 12