Regulre Vielecke Welches dieser Sechsecke knnte besondere Eigenschaften

Reguläre Vielecke

Welches dieser Sechsecke könnte besondere Eigenschaften besitzen? Einführung_Sechseck. gxt

1. Definition 2. Ein n – Eck heißt regelmäßig oder regulär wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

Achtung: Im Allgemeinen (n>3) genügt es nicht, dass nur eine Bedingung erfüllt ist. Bsp: Raute, Rechteck

Wir wollen nun ein reguläres Fünfeck betrachten. 5 eck_Bestimmungsdreieck. gxt

2. Bestimmungsdreicke Jedes regelmäßiges n-Eck besteht aus n- kongruenten gleichschenkligen Dreiecke. Ein solches Dreieck heißt Bestimmungsdreieck. Je zwei Bestimmungsdreieck sind kongruent wegen SSS. Die Strecken ME, MA und MB besitzen die Länge r. Außerdem ist AE und AB gleichlang. Dies ist der Fall da das 5 Eck regulär ist.

3. Winkel im regulären Vieleck

Winkel im Vieleck

Man kann jedes reguläre n-Eck zeichnen, indem den Mittelpunktswinkel und die Basiswinkel berechnet. Wir wollen aber die Vieleck konstruieren und nicht mit Hilfe von Rechnung erzeugen

4. Konstruktion von Vielecken 3 er Serie: Ausgangsfigur: Sechseck Verbindet man nicht jede Ecke mit der nächsten Ecke sondern mit der übernächste Ecke so entsteht ein Dreieck. Halbiert man den Mittelpunktswinkel so entsteht ein Zwölfeck.

4 er Serie: Ausgangsfigur: Quadrat Konstruiere ein 8 -Eck und ein 16 Eck

5 er Serie Im folgenden wollen wir ein 10 eck konstruieren. Dies ist jedoch komplizierter und erfordert daher Vorüberlegungen.

Vorüberlegungen: 1. Ein Zehneck setzt sich bekanntlich aus 10 Bestimmungsdreiecken zusammen (Bild 1). Betrachte eines dieser Bestimmungsdreiecke. 2. Das Bestimmungsdreieck des Zehnecks lässt sich in ähnliche Dreiecke zerlegen. (Bild 2) Bild 1 3. Mit Hilfe der Ähnlichkeitseigenschaften lässt sich s ermitteln. Somit ist dann ein Zehneck konstruierbar. 4. Aufgabe: 5. Prüfe Überlegung 2 und ermittele s 6. Zeichne das 10 eck Bild 2

5. Nährungskonstruktionen Wir haben eben festgestellt, dass es sehr aufwendig ist reguläre Vielecke zu konstruieren. Im folgenden werden wir eine Methode kennen lernen, mit der es einfacher ist (näherungsweise) ein reguläres Vieleck zu konstruieren. Führe folgende Arbeitsschritte aus: 1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC 2. Zeichne einen Kreis k mit [AB] als Durchmesser 3. Teile die Strecke [AB] in n gleich lange Teile 4. Teilpunkte A = T 0, T 1, …. . , Tn-1, Tn= B 5. 4. Zeichne die Halbgerade [CT, wobei T = Tn-2. 6. 5. Sei S der Schnittpunkt der Halbgeraden mit dem Kreis k außerhalb von [CT]. 7. 6. Trägt man die Strecke [BS] n-mal am Kreis k ab, so erhält man (näherungsweise) ein reguläres n-Eck.

6. Konstruierbare Vielecke

7. Konstruktion eines regulären 17 – Ecks Die Zirkel- Lineal Konstruktion für das gleichschenklige Dreieck, das Quadrat, das reguläre Fünfeck, das reguläre Sechseck und das reguläre Fünfzehneck wurde schon von Euklid beschrieben. Das erste nicht von Euklid konstruierte n – Eck ist das regelmäßige Siebzehneck. Bild 17 Eck