Lineris egyenletrendszerek Az evolcitl a megoldshalmaz szerkezetig dr

Lineáris egyenletrendszerek (Az evolúciótól a megoldáshalmaz szerkezetéig) dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007 -08.

I. Mátrixokkal (determináns) 2

2 x 2 3

4

5

3 x 3 6

7

II. Vektorokkal 8

9

10

11

12

13

14

Megoldás elemi bázistranszformációval: 15

17

a 1·x 1 + a 2·x 2 + … + an·xn = b 18

a 1·x 1 + a 2·x 2 + … + an·xn = b 19

a 1·x 1 + a 2·x 2 + … + an·xn = b ? t = 0 20

Példa: 21

"józan" ésszel: 22

x. B=[x 2, x 1, x 5, x 8] , x. R=[x 3, x 4, x 6, x 7] , r=4, s=4. 23

A bázisba bevitt ismeretleneket kifejezzük a be nem vitt ("maradék") változókkal: a 2) x 2 = 10 -(-7 x 3+5 x 4 -6 x 6+0 x 7) a 1) a 5) x 1 = 12 -(+5 x 3+0 x 4+4 x 6 -4 x 7) x 5 = 19 -(-7 x 3+5 x 4 -6 x 6+3 x 7) a 8) x 8 = 13 -(+6 x 3+7 x 4 -9 x 6 -5 x 7) x 3, x 4, x 6, x 7 € R tetszőleges számok x. B=[x 2, x 1, x 5, x 8] , x. R=[x 3, x 4, x 6, x 7] , r=4, s=4. 24

x. B = d - D ·x. R a 2) x 2 = 10 -(-7 x 3+5 x 4 -6 x 6+0 x 7) a 1) a 5) x 1 = 12 -(+5 x 3+0 x 4+4 x 6 -4 x 7) x 5 = 19 -(-7 x 3+5 x 4 -6 x 6+3 x 7) a 8) x 8 = 13 -(+6 x 3+7 x 4 -9 x 6 -5 x 7) x 3, x 4, x 6, x 7 € R tetszőleges számok x. B= [x 2, x 1, x 5, x 8] , r=4, x. R= [x 3, x 4, x 6, x 7] , s=4. 25

A megoldáshalmaz geometriai szerkezete: 26

Tehát: A megoldáshalmaz mindig egy L{v 1, …, vr} altér eltoltja egy u vektorral. (Mhom=uinh+Mhom) 27

"tudományosan": x. B=[x 2, x 1, x 5, x 8] , x. R=[x 3, x 4, x 6, x 7] , r=4, s=4. 28

x. B=[x 2, x 1, x 5, x 8] , x. R=[x 3, x 4, x 6, x 7] , r=4, s=4. 29

x. B=[x 2, x 1, x 5, x 8] , x. R=[x 3, x 4, x 6, x 7] , r=4, s=4. 30

Sorok és oszlopok rendezésével: x. B=[x 2, x 1, x 5, x 8] , x. R=[x 3, x 4, x 6, x 7] , r=4, s=4. 31

x. B + Dx. R = d x. B=[x 2, x 1, x 5, x 8] , x. R=[x 3, x 4, x 6, x 7] , r=4, s=4. 32

x. B + Dx. R = d x. B=[x 2, x 1, x 5, x 8] , x. R=[x 3, x 4, x 6, x 7] , r=4, s=4. 33

34