Elemi bzistranszformci Vektorok lineris kombincija Bzisai Elem bzistranszformci

Elemi bázistranszformáció Vektorok lineáris kombinációja Bázisai Elem bázistranszformáció Vissza a tartalomhoz Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Vektorok lineáris kombinációja Az n dimenziós a és b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük a d= a+ b vektort. Ha d=0 két eset állhat fenn: 1. A a+ b=0 csak = =0 esetén teljesülhet, ekkor a és b vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük 2. Különben a két vektor lineárisan összefüggő Másképp: egyik vektor a másik számszorosaként kifejezhető: Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Példák: 1. Lineárisan összefüggőek, hiszen Lineárisan függetlenek, mert 2= 4 és 3= 2 egyidejűleg nem teljesülhet Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Szemléletesen: Két 2 ill. 3 dimenziós vektor akkor és csakis akkor összefüggő, ha párhuzamosak, azaz egy „egyenesen vannak. 2. Állítsuk elő a és b lineáris kombinációjaként d-t! 3. Az egyenletrendszert megoldva =2, =-1 adódik, tehát d=2 ab Most állítsuk elő a fenti a és b vektor segítségével vektort! Nem lehet, mivel a kapott egyenletrendszer ellentmondó. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Összességében elmondhatjuk, hogy d vektor az a és b vektorok síkjában fekszik, a, b, d vektorok összefüggőek, d előállítható a és b lineáris kombinációjaként. e vektor nincs benne az a és b vektorok által kifeszített síkban, d lineárisan független a és b vektoroktól, nem állítható elő azok lineáris kombinációjaként. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Általános definíciók és tételek A b vektor az a 1, a 2, …an vektorok lineáris kombinációja, ha b= 1 a 1+ 2 a 2+…+ nan Az a 1, a 2, …an vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük, ha 1 a 1+ 2 a 2+…+ nan=0 csak 1= 2=… n=0 esetén áll fenn Tétel: Az n dimenziós térben maximálisan n db lineárisan független vektor vehető fel Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Hogyan, hányféleképpen választhatók ki egy vektortérben a lineárisan független vektorok? Következmény: Az n dimenziós térben n db lineárisan független vektor segítségével minden vektor megkapható, mint ezek lineáris kombinációja. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Bázis Az n dimenziós tér n db lineárisan független vektorát bázisnak nevezzük Következmény: Az n dimenziós egységvektorok összessége bázist alkot, ez a triviális bázis Például: Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Bázisra vonatkozó koordináták: Legyen a 1, a 2, … an az n dimenziós tér egy bázisa, ekkor az n dimenziós tér tetszőleges vektora megadható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Például: b=x 1 a 1+x 2 a 2+ … +xnan, az x 1, x 2, … xn számokat a b vektor a 1, a 2, … an bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Határozzuk meg a vektor bázisra vonatkozó koordinátáit! (b=x 1 a 1+x 2 a 2+x 3 a 3) Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Egyenletrendszer megoldása x 1=2, x 2=-1, x 3=1 tehát b=2 a 1 -a 2+a 3 Általában az adott bázisra vonatkozó koordinátákat egy n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásával kereshetjük meg. Kérdés: Mit jelent, ha az egyenletek ellentmondóak, ill. ha a megoldás nem egyértelmű? Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Elemi bázistranszformáció d koordinátái a, b bázisra vonatkozóan: (2, 1) d koordinátái e 1, e 2 bázisra vonatkozóan: (6, 5) Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Bázistranszformáció Két, vagy több dimenzióban a bázisvektorok végtelen sokféleképpen választhatók meg. Vegyünk fel például háromdimenziós, lineárisan független vektort: Az első vektor tetszőleges lehet A második vektor meghatározásánál csak arra kell ügyelni, hogy ne legyen az első skalárszorosa (így lesz lineárisan független a két vektor) A harmadik úgy lesz lineárisan független az első kettőtől, ha különbözik minden lineáris kombinációjuktól. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Ha lerögzítettük a bázist az adott n dimenziós tér minden vektorának koordinátái egyértelműen adhatók meg. Ha más bázist választunk természetesen változnak a vektorok koordinátái is. (Ezért nevezzük a koordinátákat adott bázisra vonatkozó koordinátáknak. ) Egyik bázisról a másikra való áttérést bázistranszformációnak nevezzük. Ha az egyik bázis a szokásos egységvektorok bázisa elemi bázistranszformációról beszélünk. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Nézzünk először egy két dimenziós példát: A bázisvektorok legyenek A generált vektorok és Most cseréljük ki a 2 és b 2 vektorokat A bázisvektorok legyenek és A generált vektorok Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Könnyen ellenőrizhető, az előző példa alapján, hogy a 3 dimenziós euklideszi térben a következő 3 vektor bázist alkot. Állítsuk elő a fenti három bázist alkotó vektorból b 1, b 2, b 3 generált vektorokat a következőképpen: (1) b 1=a 1+a 2+a 3 (2) b 2=2 a 1 -a 3 (3) b 3=2 a 2+a 3 Vonjuk ki a bázisból a 1 vektort és vigyük be helyette b 2 -t. Más szóval cseréljük ki a 1 -et és b 2 -t. A csere után a bázist alkotó vektorok b 2, a 3 lesznek, a generált vektorok pedig a 1, b 3 vektorok. Fejezzük ki (2)-ből a 1 -et: Ezután ezt helyettesítsük be (2)-be, így Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó adódik. Menü

A harmadik egyenlettel nincs tennivalónk, hiszen a kicserélt a 1 bázisvektor nem szerepel az előállításában. Eredményünk a következő: Ellenőrzés: Mi a feltétele a felcserélhetőségnek? Az, hogy b 2=2 a 1 -a 3 összefüggésből ki tudjuk fejezni a 1 -et, ez akkor lehetséges, ha b 2 a 1 -re vonatkozó koordinátája nem 0. . Most nézzük a problémát egy kicsit általánosabban, de nem teljesen általánosan. Maradjunk a 3 dimenziós euklideszi térben, legyenek itt a bázisvektorok a 1, a 2, a 3, a generált vektorok b 1, b 2. A b 1, b 2 vektorok a 1, a 2, a 3 bázisra vonatkozó koordinátáit jelöljék az i, i i=1, 2, 3 valós számok. b 1= 1 a 1+ 2 a 2+ 3 a 3 b 2= 1 a 1+ 2 a 2+ 3 a 3 Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Hajtsuk végre az a 2, b 1 báziscserét. Először fejezzük ki a 2 -t az első egyenletből: Majd ezt helyettesítsük be a második egyenletbe: Nézzük meg ugyanezt egy kicsit áttekinthetőbben, táblázatba rendezve. b 1 b 2 a 1 1 1 a 2 2 2 a 3 3 3 b 1= 1 a 1+ 2 a 2+ 3 a 3 b 2= 1 a 1+ 2 a 2+ 3 a 3 a 2 b 1 csere, 2 –t generáló elemnek nevezzük, a generáló elem nem lehet 0. (Lapozzunk vissza a konkrét példánkhoz. Mi a feltétele a felcserélhetőségnek? ) Foglaljuk táblázatba a 2 b 1 felcserélésekor kapott új koordinátákat is. a 2 a 1 b 1 a 3 b 2 A generáló elem helyére a reciproka kerül A generáló elem sorában levő koordinátákat elosztjuk a generáló elemmel A generáló elem oszlopában levő koordinátákat elosztjuk a generáló elem (-1)-szeresével A g. oszlop k. sorában a következőképpen kapjuk meg az új elemeket: hányados egy adott oszlopban állandó, Készítette: Stettner Eleonóra és ezért célszerű a számításokat oszloponként végezni. , látható, hogy Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Nézzünk még egy konkrét példát a bázistranszformációra: Adott a 1, a 2, a 3 bázis és b 1, b 2, b 3 generált vektorok. Végezzük el először az a 1 b 2, majd az a 2 b 1 báziscserét. b 1=a 1+a 2+a 3 b 2=2 a 1 -a 3 b 3=2 a 2+a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 1 2 0 a 2 1 0 2 a 3 1 -1 1 b 1 a 1 b 2 a 3 1 0 b 3 a 2 0 b 2 2 b 1 1 a 3 a 1 b 3 -1 1 0 2 -2 Ellenőrizzük pl. b 3 -at: Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Vektorrendszer rangja (r): a vektorrendszert alkotó vektorok között felvehető lineárisan független vektorok maximális száma. A bázist mindig lineáris független vektorok alkotják, tehát a vektorrendszerből a bázisba vonható vektorok maximális száma adja meg a rangot. Ha egy vektorrendszer rangját szeretnénk meghatározni általában kiindulási bázisnak az e 1, e 2, …en un. triviális bázist választjuk. A vektorok koordinátái a triviális bázisban a „szokásos „ koordináták. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Menü

Határozzuk meg a következő vektorrendszer rangját: b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 e 1 1 0 1 2 1 e 2 1 1 2 1 e 3 0 -1 -1 e 4 0 1 1 b 3 b 4 b 5 b 1 0 1 2 1 b 1 1 2 1 3 e 2 1 1 -1 2 b 2 1 -1 2 1 -2 e 3 -1 -1 1 -2 e 3 0 0 0 -1 2 e 4 1 1 -1 2 e 4 0 0 0 Vegyük észre, ha a generáló elem sorában valahol 0 van, a 0 elemet tartalmazó oszlop értékei nem változnak, s ugyanígy, ha a generáló elem sorában található 0 elem, a hozzá tartozó sor marad változatlan. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Ha az eredeti bázis az egységvektoro k bázisa a kivont e vektorok oszlopát elhagyhatjuk, ezt az egyszerűbb írásmódot használjuk mi is. Menü

A harmadik táblázatban már nem tudunk generáló elemet választani, hiszen a 3. és 4. sorban csupa 0 elem áll. Eredményünk azt jelenti, hogy csak két vektort tudtunk bevonni a bázisba, a vektorrendszer rangja 2. Az 1. táblázatban más generáló elemből is kiindulhattunk volna, ekkor is csak két vektort tudtunk volna bevonni a bázisba, de másik kettőt. Eredményünk így is felírható: b 3, b 4 és b 5 vektorok kifejezhetők b 1 és b 2 lineáris kombinációjaként. Egy vektorrendszerben annyi lineárisan független vektor van, amennyi a bázisba bevonható, ezért a bázitranszformációval azt is eldönthetjük, hogy egy vektorrendszer lineárisan független, vagy összefüggő. Ha a vektorrendszer minden eleme bevonható a bázisba a vektorrendszer lineárisan független, különben összefüggő. Fenti példánkban a b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 vektorok összefüggő vektorrendszert alkottak. Ez látszik egyenletrendszerből és a lineáris függetlenség definíciójából is. A 0 vektort a b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 vektoroknak nem csak a triviális lineáris kombinációja állítja elő. ( Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó ) Menü

Vissza a tartalomhoz Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó