LECII PE CALCULATOR MATEMATIC Clasa a VIa Semestrul

LECŢII PE CALCULATOR MATEMATICĂ Clasa a VI-a Semestrul II ALGEBRĂ

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Un numar rational se poate exprima fie printr-un cat neefectuat, m: n, fie printr-o fractie ordinara, , fie printr-o fractie zecimala finita sau periodica (catul efectuat al numerelor naturale sau intregi m si n, n 0). AMPLIFICAREA Multimea numerelor rationale o notam cu Q. SIMPLIFICAREA Q+ = multimea numerelor rationale pozitive. Unde a = c. m. m. d. c. a lui m si n. .

SCRIEREA NUMERELOR RAŢIONALE SUB FORMA ZECIMALĂ SAU FRACŢIONARĂ TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ORDINARE IN FRACTIE ZECIMALA Se face prin efectuarea catului dintre numaratorul si numitorul fractiei: EXEMPLE: TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ZECIMALE IN FRACTIE ORDINARA: EXEMPLE: .

REPREZENTAREA PE AXĂ A NUMERELOR RAŢIONALE Pentru a reprezenta pe o axa mai multe numere rationale, este indicat ca numerele rationale sa fie ordonate crescator. Pentru ordonarea acestora, aceste numere este necesar sa aiba aceeasi forma de prezentare – sub forma de fractii ordinare cu acelasi numitor. EXEMPLU: Fie multimea A = {-1, 5; 3, (3); 0; -2, 2; 3, 3; -2, (2); 1, 5} Transform numerele date in fractii ordinare: Aducem fractiile la acelasi numitor (in cazul nostru acesta este 90): Acuma, dupa comparatia numerelor , le putem reprezenta pe o axa: -2, (2) -2, 2 -1, 5 0 -1, 5 3, 3 3, (3).

OPUSUL, INVERSUL, MODULUL UNUI NUMĂR RAŢIONAL OPUSUL UNUI NUMAR RATIONAL Opusul lui a este –a, astfel incat a + (-a) = 0 Exemple: opusul lui 2, 5 este -2, 5; opusul lui -4, 8 este 4, 8. INVERSUL UNUI NUMAR RATIONAL Inversul lui a este astfel incat Exemple: MODULUL UNUI NUMAR RATIONAL EXEMPLE: 5 = 5; -2 = 2.

ADUNAREA/SCĂDEREA NUMERELOR RAŢIONALE Adunarea/scaderea fractiilor ordinare: -Se afla numitorul comun al fractiilor date; -Se amplifica corespunzator fractiile date; -Numaratorii amplificati se aduna/scad deasupra aceleasi linii de fractie. EXEMPLU: Adunarea/scaderea fractiilor zecimale finite: -Se aseaza numerele unul dedesubtul celuilalt, astfel incat virgulele sa fie una dedesubtul celeilalte; -Se face adunarea/scaderea conform algoritmului cunoscut; -Virgula se pune la rezulta, , , coborand-o’’ pe verticala. EX EM 2, 15+ 49, 30 51, 45 PL U: .

PROPRIETATILE ADUNARII IN MULTIMEA Q • Adunarea este asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) • Adunarea este comutativa: a+b=b+a • Elementul neutru al adunarii este 0: a+0=0+a=a • Pentru orice a exista –a, a + (–a) = (–a) + a = 0 opusul lui a, astfel incat:

INMULŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE Prin inmultirea a doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare se obtine o fractie ordinara unde numaratorul este produsul numaratorilor si numitorul este produsul numitorilor. le i t ta e i r - factor + + - u m in op r P Este comutativa a b = b a Inmultirea semnelor: factor + + i i tl ir produs + + Este asociativa a (b c) = (a b) c Elementul neutru a 1 = 1 a = a este 1 Este distributiva a (b+c)=a b+a c fata de adunare/scadere

IMPĂRŢIREA NUMERELOR Pentru a imparti doua fractii ordinare, se inmulteste prima fractie cu a RAŢIONALE doua fractie inversata. Impartirea semnelor este la fel ca la inmultirea semnelor. TEOREMA IMPARTIRII CU REST: d=i c+r r<i Unde: d = deimpartitul i = impartitorul c = catul r = restul.

PUTEREA UNUI NUMĂR RAŢIONAL Daca este un numar rational, atunci Atunci cand exponentul este un numar negativ, avem: Reguli de calcul cu puteri: am an=am+n (am)n=amn am: an=am-n (a b)m=am bm (–a)n =

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR ŞI FOLOSIREA PARANTEZELOR • Intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu numere rationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si scaderile in ordinea in care sunt scrise. • In exercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din parantezele mari (drepte) si apoi cele din acolade. • Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau o suma de numere rationale se afla simbolul , , –”, atunci se poate elimina acesta si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semn schimbat.

ECUAŢII EXEMPLU: • Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o Rezolvati ecuatia necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale. Stabilim cmmmc al • Intr-o ecuatie avem , , dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat. • Intr-o ecuatie avem , , dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei. numitorilor si amplificam fractiile: Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori: Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat: Efectuam operatiile de adunare/scadere: Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei: In final, aflam radacina ecuatiei: .

REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUAŢIILOR Etape de rezolvare a unei probleme: 1) Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema. 2) Notarea unei date necunoscute cu x si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de x. 3) Scrierea unei ecuatii cu necunoscuta x, folosind datele problemei. 4) Rezolvarea ecuatiei. 5) Verificarea solutiei. REZOLVARE 6) Formularea concluziei (raspunsului problemei). EXEMPLU Intr-un triunghi ABC, masura unghiului B este de doua ori mare decat masura unghiului A iar masura unghiului C este 75% din masura unghiului B. Aflati masura unghiului A. 1) Notam masura unghiului A cu x. 2) Din datele problemei rezulta ca masura unghiului B este egala cu 2 x. La fel din datele problemei rezulta ca masura unghiului C este 75% din 2 x, adica este egala cu 1, 5 x. 3) Daca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este egala cu 1800, atunci obtinem ecuatia: 4) x + 2 x + 1, 5 x = 180 In urma rezolvarii ecuatiei, obtinem x = 400. 5) Verificam solutia: 40 + 80 + 60 = 180.