Laiko eilui modeliai Laiko eiluts iskaidymas glodinimas ir

Laiko eilučių modeliai Laiko eilutės išskaidymas, glodinimas ir filtravimas 2014 -09 -11

Turinys 1. 2. 3. 4. 5. Laiko eilutės samprata Laiko eilutės klasikinis išskaidymas Laiko eilutės eksponentinis glodinimas Laiko eilutės filtrai Prognozių tikslumo matai

1. Laiko eilutės samprata • Laiko eilutė (laiko seka) – periodiškų reiškinio stebėjimų visuma, kurių duomenys tai tam tikrais laiko momentais fiksuoti stebėjimų dydžiai, arba periodą stebimų dydžių suma. • Laiko eilutės gali būti suformuotos iš įvairaus dažnumo, tačiau vienodo periodiškumo duomenų: valandinių, kasdienių, savaitinių, mėnesinių, metinių ir pan.

Laiko eilutės samprata Laiko eilučių tipai: • Momentinės • Intervalinės

Laiko eilučių duomenų tipai: • • Absoliutūs (Yt) Absoliutūs pokyčiai/prieaugiai (ΔYt= Yt-1) Augimo tempas (T= Yt. / Yt-1) Pokyčių tempas (Tpokyčių= ΔYt/Yt-1 ~ ln(Yt)

3. Laiko eilutės išskaidymas slenkančių vidurkiu metodu Laiko eilutės (Yt ) komponentai: – trendas (T) – cikliniai svyravimai (C) – sezoniniai svyravimai (S), – atsitiktiniai svyravimai (A). Yt= f(Tt; Ct; St; At)

Laiko eilutės išskaidymas Du laiko eilutės išskaidymo būdai: – Sumos : – Sandaugos Yt= Tt + Ct + St+ At Yt= Tt ٠ Ct ٠ St ٠ At

Laiko eilutės išskaidymas Išskaidymo būdo pasirinkimas Yt= Tt + Ct + St+ At Yt= Tt ٠ Ct ٠ St ٠ At

Laiko eilutės išskaidymas Slenkančių vidurkių metodu Slenkančių vidurkių rūšys – Paprastas – Svertinis – Centruotas

Slenkančių vidurkių rūšys Paprastas MAt= 1/n yt-n+i =1/n (yt+yt-1 +…+yt-n+1) • Suteikia vienodą svorį visiems slenkantį vidurkį sudarantiems n stebėjimams

Slenkančių vidurkių rūšys Svertinis WMAt= (i*yt-n+i)/ i = [nyt+(n-1)yt-1+…+1 yt-n+1]/ [n+(n-1)+…+1] • Stebėjimų svoriai yra skirtingi. Svorių priskyrimo schemos gali būti įvairios. Pavyzdyje pateikiamas variantas, kai vėlesniam stebėjimui priskiriamas vis mažesnis svoris.

Slenkančių vidurkių rūšys Centruotas • CMAt= 1/n yi = 1/n [yt+(n-1)/2 + yt+(n-1)/2 -1+…+ yt-(n 1)/2 ] • Išlyginimas realizuojamas pakeičiant pirminės laiko eilutės reikšmes vidurkiu, suformuotu iš vienodo skaičiaus prieš stebėjimą ir po stebėjimo esančių stebėjimų. – Šio slenkančio vidurkio trūkumas - vėliausiems periodams slenkantys vidurkiai nėra apskaičiuojami. – Slenkančio vidurkio dėmenų skaičius (n) turi būti nelyginis.

Laiko eilutės išskaidymas Sezoniškumo indeksų nustatymas slenkančių vidurkių metodu 1. Slenkančių vidurkių metodu išlyginami pirminiai stebėjimai (Yt). Išlygintoje eilutėje: • (Tt ٠ Ct) arba (Tt+Ct) lieka • (St ٠ At) arba (St + At) eliminuojama • Slenkantį vidurkį reikia papildomai centruoti, kai slenkančio vidurkio dėmenų skaičius yra lyginis t. y. iš slenkančio vidurkio reikšmių apskaičiuoti dviejų dėmenų (n=2) slenkančius vidurkius,

DU_priv pradiniai duomenys ir išlyginta eilutė slenk. vidurkiais

Laiko eilutės išskaidymas Sezoniškumo indeksų nustatymas 2. Sezoniškumo komponentės išskyrimas • Iš faktinių Yt reikšmių eliminuojant trendo ir ciklinių svyravimų bendrą komponentą, nustatomas bendras sezoniškumo ir atsitiktinumo komponentų dydis: – St+At = Yt - ( Tt + Ct. ) – St٠ At = Yt / Tt ٠ Ct

Laiko eilutės išskaidymas Sezoniškumo indeksų nustatymas 3. Sezoniškumo komponentę išskiriame apskaičiuodami atitinkamų periodų (visų laiko eilutės atitinkamų ketvirčių, pvz. , I ketvirčio) (St+At) arba (St ٠ At) reikšmių virdurkį. • Apskaičiuotas vidurkis yra atitinkamo periodo sezoniškumo indeksas - St

Darbo užmokesčio sezoniškumo indeksai

Užimtumo sezoniškumo indeksai

Laiko eilutės išskaidymas Duomenų desezonizavimas 3. Nustačius sezoniškumo komponentę, iš laiko eilučių pirminių duomenų eliminuojama jo įtaka: • Tt+Ct+At = Yt – St • Tt٠ Ct٠ At = Yt / St

Laiko eilutės išskaidymas Trendo nustatymas 4. Eliminavus sezoniškumą, galima nustatyti esminę laiko eilutės kitimo tendencijątrendą • Trendas dažniausiai nustatomas MKM

Laiko eilutės išskaidymas Trendo nustatymas Dažniausiai naudojamos trendo funkcijos Pirminė išraiška Pavadinimas Į tiesinę formą transformuota išraiška Tiesinė Yt=a+bt Eksponentinė Yt=a*ebt ln. Yt=lna+b*t Hiperbolinė Yt=a+b/t Yt=a+b. T, kur T=1/t Logaritminė Yt=a+b*lnt Yt=a+b. T, kur T=lnt Rodiklinė Yt=a*tb ln. Yt=lna+b*lnt

Cikliniai svyravimai 5. Cikliniai svyravimai nustatomi eliminavus trendo komponentę iš išlygintos eilutės • Ct = (Tt+Ct )- Tt • Ct = Tt٠ Ct / Tt

Išskaidyta du_priv laiko eilutė

Laiko eilutės išskaidymo privalumai ir ribotumai: • Privalumai: – Suprasti laiko eilutės sandarą ir kitimo aspektus – Naudinga preliminari priemonė prognozavimo metodams parinkti • Ribotumai: – Retai kada naudojama prognozavimui dėl ciklo ir atsitiktiniės komponenčių neprognozuojamumo

4. Laiko eilutės eksponentinis glodinimas (EG) • Tai dar vienas būdas analizuoti ir prognozuoti laiko eilutes • EG būdai: – Paprastas – Dvigubas – Trigubas

Eksponentinis glodinimas Paprastas • • S 1= Y 1 S 2= α Y 2+(1 - α) S 1 Bendru atveju St= α Yt+(1 - α) St-1, • St= α[Yt+(1 - α)Yt-1+(1 - α)2 Yt-2+…]+ (1 - α)t-1 Y 1

Eksponentinis glodinimas Paprastas • Faktoriaus α ypatumai – 0 <α <1 – Yt labai stipri atsitiktinių svyravimų įtaka: α 1 – Yt - labai inertiškas procesas t. y. stipriai priklauso nuo Yt-1 α 0 Faktoriaus α nustatymo būdai: –. –analitiko nuožiūra parenkamas α išlyginimo faktorius –MKM nustatomas α toks, kuris minimizuoja paklaidų kvadratų sumą.

Eksponentinis glodinimas Dvigubas (Holt’o tiesinis) • Jeigu laiko eilutė turi trendą, taikomas dvigubas eksponentinio išlyginimo metodas.

Eksponentinis glodinimas Dvigubas (Holt’o tiesinis) • St= αYt+(1 - α)(St-1+bt-1) Suglodinta stebėjimo reikšmė • bt=β(St-St-1)+(1 - β)bt-1 Suglodinta trendo reikšmė • Ft+m=St+btm Prognozės reikšmė • • α ir β glodinimo koeficientai St – suglodinta t stebėjimo reikšmė bt –trendo suglodinta t reikšmė Ft+m prognozės reikšmės m- periodų į priekį

Eksponentinis glodinimas Dvigubas (Holt’o tiesinis) • b 0 glodinimo koeficiento nustatymo būdai: – b 0 prilyginti 0 (tinka, kai eilutė yra ilga) – MKM apskaičiuoti pirmų penkių laiko eilutės narių trendo lygtį Yt =a+bt ir b 0 =b

Eksponentinis glodinimas Trigubas (Holt’o Winterio) glodinimas • Trigubas arba Holt‘o Winterio sezoninis glodinimas taikomas tuomet, kai laiko eilutei būdingas trendas ir sezoniniai svyravimai. • Sezoniškumas gali būti adityvus arba multiplikatyvus

Eksponentinis glodinimas Trigubas (Holt’o Winterio) glodinimas • • • α ir β ir γ glodinimo koeficientai St – suglodinta t stebėjimo reikšmė bt –trendo suglodinta t reikšmė ct –sezoniškumo įtakos faktorius Ft+m prognozės reikšmės m- periodų į priekį • L-periodų skaičius metuose (pvz. ketvirtiniuose duom. L=4, mėnesiniams L=12)

Eksponentinis glodinimas trigubas (Holt’o Winterio sezoninis) • b 0 ir c 1 -L glodinimo koeficiento nustatymo būdai: – β 0 prilyginti 0, o sezoniškumo indeksus c 1 -L =1 – MKM apskaičiuoti pirmų penkių laiko eilutės narių trendo lygtį Yt =a+bt ir β 0 =b

Eksponentinis glodinimas DU

Eksponentinis glodinimas DU Paprastas EG Trigubas EG Prognozė Dvigubas EG Prognozė

Eksponentinis glodinimas UŽ

Eksponentinis glodinimas UŽ Paprastas EG Prognozė Tribubas EG Prognozė

Eksponentinis išlyginimas Apibendrinimas • Kada kokį metodą taikyti Sezoniškuma s Nėra sezoniškumo Adityvus sezoniškumas Multiplikatyvus sezoniškumas Nėra trendo Paprastas EG HW aditive HWmultiplikative Tiesinis trendas Dvigubas išlyginimas HW aditive HWmultiplikative Netiesinis trendas HW no seasons HW aditive HWmultiplikative Trendas

Eksponentinis išlyginimas Apibendrinimas • Kada kokį metodą taikyti Sezoniškuma s Trendas Nėra trendo Tiesinis (Adityvus) trendas Multiplikatyvus trendas Nėra sezoniškumo Adityvus sezoniškumas Multiplikatyvus sezoniškumas

5 Laiko eilučių filtrai • Filtrų tipai: – Hodrick- Prescott filtras – Dažnių filtras (magisratūroje)

Hodrick-Prescott filtras •

Hodrick-Prescot filtras • Filtro nustatymo procedūra – Nustatomas ilgalaikis trendas τ – Randama ciklo kreivė ζ, atimant trendo reikšmes τ iš laiko eilutės Y duomenų,

Hodrick-Prescott filtras • Minimizuojami trendo nuokrypiai = maksimizuojamas trendo atitikimas duom. sekai Y Minimizuojami trendo šuoliai = maksimizuojamas trendo tolygumas

Hodrick-Prescott filtras •

Hodrick-Prescott filtras •

Hodrick-Prescott filtras 1 -2 1 0 0 0 … 0 0 0 1 -2 1 0 0… 0 0 0 K= … … 0 0 0 1 -2 1

Hodrick-Prescott filtras Pvz. 1 -2 1 0 0 K= 0 1 -2 1 0 0 1 -2 1 1+λ -2λ λ 0 I+λK’K= -2λ 1+5λ -4λ λ 0 λ -4λ 1+6λ -4λ λ 0 λ -4λ 1+5λ -2λ 0 0 λ -2λ 1+ λ

Hodrick-Prescott filtras Pvz. • Tarkime turime metinius duomenis λ=100 Y = (2, 4, 4, 5, 3, 1 )

Hodrick-Prescott filtras Pvz. • Tarkime turime metinius duomenis λ=100 Y = (2, 4, 4, 5, 3 )

Hodrick-Prescott filtras Pvz. = 0, 603559 0, 398019 0, 196444 -0, 00118 -0, 19684 0, 398019 0, 30169 0, 20138 0, 100093 -0, 00118 0, 196444 0, 20138 0, 204351 0, 20138 0, 196444 -0, 00118 0, 100093 0, 20138 0, 30169 0, 398019 -0, 19684 -0, 00118 0, 196444 0, 398019 0, 603559 2 4 4 5 3

Hodrick-Prescott filtras Pvz. TRENDAS = 2, 99 -0, 99 3, 31 0, 69 0, 39 3, 61 CIKLAS = 3, 91 1, 09 4, 19 -1, 19

Hodrick-Prescott filtras •

Hodrick-Prescott filtras – Privalumai – Kritika

Du_priv Hodrick Prescott filtras

Uz_priv Hodrick Prescott filtras

5 Laiko eilučių prognozės tikslumas • Prognozių tikslumas – Teisingo metodo parinkimas – Duomenų pakankamumas – Prognozės horizonto parinkimas – Prognozuojamo proceso pastovumas

5. Prognozių tikslumo matai • RSS– prognozės paklaidų kvadratų suma: • MSE – vidutinė kvadratinė paklaida: • RMSE – šaknis iš vidutinės kvadratinės paklaidos: • t- stebėjimų, k – modelio parametrų skaičius.

5. Prognozių tikslumo matai • MAE – vidutinė absoliutinė paklaida • MAPEvidutinė absoliuti procentinė paklaida • :

5. Prognozių tikslumo matai • • AIC – Akaike’s informacijos kriterijus: BIC (SBC) – Schwarz kriterijus Determinacijos koeficientas Maksimalaus tikėtinumo kriterijus

5. Prognozių tikslumo matai •

5. Prognozių tikslumo matai •