havovwo D Samenvatting Hoofdstuk 7 Getallenrijen Een recursieve

havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7

Getallenrijen Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke term uit één of meer voorafgaande termen volgt. Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde. vb. un = un – 1 + 160 7. 1

Het rijen-invoerscherm van de GR Rij van Fibonacci Elke term is de som van de twee voorafgaande termen. u 3 = u 2 + u 1 un = un – 1 + un - 2 7. 1

opgave 10 un = un – 1 + 5 n met u 0 = 100 vn = vn – 1 + n 2 met v 0 = 10 a) TI b) c) Casio Voer in n. Min = 0 – 1) + n 2 d) u(n. Min) = 100 e) 29, 5 , f) … g) u(n) = 0, 5 u(n u 0 = 100 , u 1 = 51 , u 2 = u 3 = 23, 75 , u 4 = 27, 875 , Voer in an – 1 = 0, 5 an – 1 + (n + 1)2 start: 0 a 0: 100 a 0 = 100 , a 1 = 51 , a 2 = 29, 5 , a 3 = 23, 75 , a 4 = 27, 875 De kleinste term is u 3 De kleinste term is u 1. b) u 7 ≈ 76, 73 c) u 16 ≈ 454 en u 17 ≈ 516. 7. 1

Rekenkundige rijen Een rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. Van een rekenkundige rij met beginterm u 0 en verschil v is • de directe formule un = u 0 + vn • de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u 0. De somrij van een rekenkundige rij Bij de rij un hoort de somrij Sn = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + … + un. Voor de rekenkundige rij un geldt som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term) 7. 2

Meetkundige rijen Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. Van een meetkundige rij met beginterm u 0 en factor r is • de directe formule un = u 0 · rn • de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u 0. De somrij van een meetkundige rij Sn = Voor een meetkundige rij un geldt eerste term(1 – factoraantal termen) som meetkundige rij = 1 - factor 7. 2

De formule un = a · un – 1 + b Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort een recursieve formule van de vorm un = aun – 1 + b. Je kunt de termen van de bijbehorende rij un doorrekenen • met ANS op het basisscherm • door de formule in te voeren op het rijen-invoerscherm en de termen in een tabel zetten • door de bijbehorende tijdgrafiek te plotten en deze met de trace-cursor te doorlopen. Je kunt de puntenrij in een Oxy-assenstelsel tekenen. De punten (un – 1, un) liggen op de lijn y = ax + b. De webgrafiek bestaat uit aaneengesloten verticale en horizontale lijnstukken afwisselend op de lijnen y = ax + b en y = x. 7. 3

Convergeren en divergeren De lijnen y = ax + b en y = x hebben een snijpunt bij Deze x-coördinaat heet het dekpunt van de rij un = aun – 1 + b constante rij: heeft het dekpunt als startwaarde rij convergeert: bij een grenswaarde is er een stabiel evenwicht rij divergeert: als er geen grenswaarde is dan is er een instabiel evenwicht. 7. 3

De directe formule van de rij un = aun – 1 + b 7. 3

Prooi-roofdiermodellen Bij een prooi-roofdier cyclus hoort een tijdgrafiek en een prooi-roofdierdiagram. Bij een prooi-roofdiermodel hoort een stelsel van twee differentievergelijkingen. In het model hieronder is Pt het aantal prooidieren op tijdstip t en Rt het aantal roofdieren op tijdstip t. Pt = 1, 18 Pt – 1 – 0, 003 Rt – 1 Pt – 1 Rt = 0, 94 Rt – 1 + 0, 0006 Pt – 1 Rt – 1 met P 0 = 120 en R 0 = 65. Je kunt het model met de GR doorrekenen en tijdgrafieken plotten. 7. 4

opgave 62 a) (0, 25 – 0, 0015 R) P = 0 b) 0, 25 – 0, 0015 R = 0 c) 0, 0015 R = 0, 25 R ≈ 167 (-0, 03 + 0, 00004 P) R = 0 -0, 03 + 0, 00004 P = 0, 03 P = 750 b) De populaties veranderen dan niet meer, c) dus steeds is Pt = 750 en Rt = 167. 7. 4

Een model van een griepepidemie Het verloop van een griepepidemie kan beschreven worden met het model hieronder. Hierin is Gt het aantal mensen dat op tijdstip t nog niet de griep heeft gehad, het aantal mensen dat ziek is op tijdstip t en lt het aantal mensen dat op tijdstip t immuun is. 7. 4