havovwo D Samenvatting Hoofdstuk 3 Een experiment twee

havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 3

Een experiment twee of meer keer uitvoeren De productregel gebruik je ook als je hetzelfde experiment 2 of meer keren uitvoert. De productregel Voor de gebeurtenis G 1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G 2 bij het andere experiment geldt : P(G 1 en G 2) = P(G 1) · P(G 2) 3. 1

Experimenten herhalen totdat succes optreedt In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. 3. 1

Trekken met en zonder terugleggen 3. 2

voorbeeld In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. a) P(rr) = De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. b) P(rode en witte) = 2 · P(rw) = Er zijn 50 – p witte knikkers 3. 2

Kleine steekproef uit grote populatie Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 3. 2

Toevalsvariabelen Bij het kansexperiment uit opgave 32 wordt aselect (= willekeurig) een leerling uit de klas gekozen. X = de leeftijd van de leerling. Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele. complementregel P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) somregel P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) 3. 3

Kansverdelingen De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waarde van X de bijbehorende kans is vermeld. kanshistogram De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1. Uniform verdeelde toevalsvariabele kansverdeling waarin alle kansen gelijk zijn. 3. 3

Onafhankelijke toevalsvariabelen De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elke mogelijke x en y geldt : P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x) 3. 3

De verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X 1. 2. 3. 4. Stel de verwachtingswaarde van X op. Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. Tel de uitkomsten op. De som is E(X). Dus E(X) = x 1 · P(X = x 1) + x 2 · P(X = x 2) + … + xn · P(X = xn). 3. 3

Succes en mislukking De complement-gebeurtenis van succes. Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment waarbij je alleen op de gebeurtenissen succes en mislukking let. De kans op succes wordt aangegeven met p. De kans op mislukkig is dan 1 - p. 3. 4

Het binomiale kansexperiment Een binomiaal kansexperiment is een kansexperiment dat bestaat uit n gelijke Bernoulli-experimenten. Hierbij hoort de toevalsvariabele X = het aantal keer succes. Bij een binomiaal kansexperiment is : • n het aantal keer dat het Bernoulli-experiment wordt uitgevoerd • p de kans op succes per keer • X het aantal keer succes De kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = n k · pk · (1 – p)n – k. 3. 4

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 3. 4

3. 4

Werkschema: binomiale kansen berekenen 1. 2. 3. Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 3. 4

Berekenen van n 3. 4

De standaardafwijking Deviatie d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde ) Standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2 Het berekenen van σ doe je met (TI) 1 -Var Stats L 1, L 2 σx of (Casio) 1 VAR xσn 3. 5

De standaardafwijking 3. 5

De somregel voor de verwachtingswaarde Voor de toevalsvariabelen X en Y geldt : E(X + Y) = E(X) + E(Y) 3. 5

De somregel voor de standaardafwijking Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt de somregel voor de standaardafwijking σx+ y = √ σ2 x + σ2 y VAR(X) = σ2 x (de variantie van X) σ2 x+ y = σ2 x + σ2 y dus VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) 3. 5

De standaardafwijking van een binomiale toevalsvariabele Bij de binomiale toevalsvariabele X met parameters n en p is - de verwachtingswaarde E(X) = np - de standaardafwijking σX = √np(1 – p) 3. 5