FUNCIONES LINEALES Y CUADRTICAS U D 12 3

FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS U. D. 12 * 3º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

PASO ENTRE FORMAS DE FUNCIÓN LINEAL U. D. 12. 4 * 3º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

Paso entre formas de una función • • • • Si una función lineal o afín viene dada en forma de Tabla o Gráfica, de modo que conocemos dos puntos por donde pasa: P 1=(0 , 0), P 2=(x 2, y 2) en lineales ; P 1=(x 1, y 1), P 2=(x 2, y 2) en afines Se tiene que cumplir: y 1=m. x 1 +n ; y 2=m. x 2+n Lo cual forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( m y n ) que resolveríamos. --------------------------------------------------También en todas las funciones cuya gráfica sea una recta: y 2 – y 1 Calculamos m = ------- y a continuación hallamos n. x 2 – x 1 Como y 2 = m. x 2 + n , despejamos n: n = y 2 – m. x 2 --------------------------------------------------También, conocida la pendiente m, tenemos: y – y 2 m = ----- y operando queda: y – y 2 = m. (x – x 2) y = m. (x – x 2)+ y 2 x – x 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

1. - Sea la función y= 3 x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. • Tabla de valores • x y • • • 0 1 2 0 3 6 • Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente. m=3 >0 Creciente y @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO -3 0 3 6 x -3 -6 -6 • 3 6 • • • 9 Paso de expresión a Tabla 4

2. - Sea la función y=-2 x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. • Tabla de valores • x y • • • -1 0 2 2 0 -4 • Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y, luego la función es decreciente. m= – 2 < 0 Decreciente y 2 4 • • • 6 Paso de expresión a Tabla 0 1 2 3 4 x -6 • -4 -2 -4 -3 -2 -1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Paso de expresión a gráfico • Tabla de valores • x y • • • -2 0 1 4 2 1 • Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y, luego la función es decreciente. m=– 1 < 0 Decreciente y 3 3. - Sea la función y= 2 - x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. @ Angel Prieto Benito -1 0 1 2 3 x -1 -2 -2 • 1 2 • • • Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Paso de expresión a gráfico -4 Tabla de valores • x y • • • -4 0 4 -5 -3 -1 • Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente. m=1/2 >0 Creciente • @ Angel Prieto Benito -2 y 0 2 4 6 x -4 -3 -2 -1 • 1 4. - Sea la función y= x/2 - 3 Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. -5 • • • Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Paso de Tabla a Expresión • • EJEMPLO 1 Una función lineal pasa por el punto A(4, 5). Hallar su pendiente y su ecuación. m=y/x m= 5/4 = 1, 25 y=mx y = 1, 25. x • • EJEMPLO 2 Una recta para por el O(0, 0) y por el punto B(-2, 3). Hallar su ecuación. Al pasar por el origen de coordenadas es una función lineal (y = m. x). m=y/x m= 3/(-2) = -1, 5 y=mx y = -1, 5. x • • EJEMPLO 3 Al comprar 100 gr de mortadela nos han cobrado 2 €. ¿Es una función lineal? . ¿Por qué? . Hallar su pendiente y su ecuación. El precio de cada gramo es el mismo y suponemos no nos cobran el envoltorio, por lo cual suponemos que es una función lineal. m=y/x m= 2/100 = 0, 02 y=mx y = 0, 02 x • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

Paso de Gráfica a Expresión • • Ejemplo 4 Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la ecuación de dicha línea o función afín. • • • • Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: P 1=(-2, -6), P 2=(5, 1) Hallamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 1 – (– 6) m = ------------- = 7 / 7 = 1 x 2 – x 1 5 – ( -2) Como y=mx+n Tomando un punto: 1 = m. 5 +n Sustituyendo: 1 = 1. 5+n 1 = 5+n 1 – 5 = n n = – 4 Luego: f(x) = x – 4 Al ser m positiva la función es creciente. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO Gráfico 1 -2 5 -6 Expresión f (x) = x – 4 9

Paso de Tabla a Expresión • • Ejemplo 4 Una función afín viene dada por dos puntos: P 1=(4, 3), P 2=(5, -7) Obtener su expresión algébrica o fórmula. • • • Resolución: Como y=mx+n Calculamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 – 7– 3 m = ----------- = - 10 / 1 = - 10 x 2 – x 1 5– 4 • • • Tomando un punto: 3 =m. 4 +n 3 = (– 10). 4 + n 3 = – 40 + n 3 + 40 = n n = 43 Luego: f(x) = – 10. x + 43 Al ser m negativa la función es decreciente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO Tabla de valores x 4 5 y 3 -7 Expresión f (x) = -10. x + 43 10

Paso de Gráfica a Expresión • • Ejemplo 5 Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la ecuación de dicha línea. • • • Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: P 1=(2, 7), P 2=(5, 21) • • • Al no pasar por el O(0 , 0) es una función afín. Como y = m. x + n Calculamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 21 – 7 m = ----------- = 14 / 3 x 2 – x 1 5– 2 Tomando un punto conocido: P 1=(2, 7) 7 = (14/3). 2 + n n = 7 – 28/3 = – 7/3 Luego: f(x) = (14/3). x – 7/3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO Gráfico 21 7 2 5 Expresión f (x) = (14/3). x – 7/3 11

FÓRMULA PUNTO-PENDIENTE • • • • FÓRMULA PUNTO-PENDIENTE Si nos dan un punto por donde pasa una recta y el valor de la pendiente (inclinación), podemos calcular su expresión con independencia de que sea una función lineal o afín. En ambos casos siempre se cumple que: m=Δy/Δx Que la podemos calcular así: y 2 – y 1 y 3 – y 2 y 3 – y 1 m = ----------- = …. x 2 – x 1 x 3 – x 2 x 3 – x 1 En general: y – yo m = ----- , siendo (x , y) un punto cualquiera de la recta; y (xo, xo) x – xo siendo (x , y) un punto cualquiera de la recta; y (xo, yo) un punto conocido. Operando: y – yo = m. (x – xo) Que es la Ecuación Punto-Pendiente de una recta. Despejada y tenemos la función lineal o afín correspondiente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

Paso de Tabla a Expresión • • Ejemplo 6 Una función afín viene dada por dos puntos: P 1=(3, 4), P 2=(5, -2) Obtener su expresión algébrica. • • • Resolución: Como y=mx+n Calculamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 – 2– 4 m = ----------- = - 6 / 2 = - 3 x 2 – x 1 5– 3 Aplicamos la fórmula PUNTO-PENDIENTE: Como y – y 2 = m. (x – x 2) y – ( – 2) = – 3. (x – 5) Operando: y = – 3. x + 15 – 2 Queda: y = – 3. x + 13 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO Tabla de valores x 3 5 y 4 -2 Expresión f (x) = - 3. x + 13 13

Ejercicios (I) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 14

Ejercicios (y II) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 15