Dunkle Zahlen 1 2 3 Georg Cantor 1845

Dunkle Zahlen

= { 1, 2, 3, . . . } Georg Cantor (1845 - 1918) ω ist die erste ganze Zahl, die auf alle natürlichen Zahlen folgt. 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , n, . . . ω ω ist die auf alle natürlichen Zahlen nächstfolgende Ordinalzahl. 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , n, . . . . , ω |ω - n| = |ω| = 0

Wenn 0 Zahlen existieren, so sind sie in der letzten Spalte enthalten. Sind 0 Zahlen in der letzten Spalte enthalten, so sind sie auch im ganzen Dreieck enthalten. {1} { 1, 2, 3, 4 } { 1, 2, 3, 4, 5 } …

Wenn 0 Zahlen existieren, so sind sie in der letzten Spalte enthalten. Sind 0 Zahlen in der letzten Spalte enthalten, so sind sie auch im ganzen Dreieck enthalten. {1} { 1, 2, 3, 4 } { 1, 2, 3, 4, 5 } …

Wenn 0 Zahlen existieren, so sind sie in der letzten Spalte enthalten. Sind 0 Zahlen in der letzten Spalte enthalten, so sind sie auch im ganzen Dreieck enthalten. Zwei Zeilen enthalten niemals mehr als eine der beiden enthält. {1} { 1, 2, 3, 4 } { 1, 2, 3, 4, 5 } …

Wenn 0 Zahlen existieren, so sind sie in der letzten Spalte enthalten. Sind 0 Zahlen in der letzten Spalte enthalten, so sind sie auch im ganzen Dreieck enthalten. Zwei Zeilen enthalten niemals mehr als eine der beiden enthält. Keine Zeile enthält 0 Zahlen. {1} { 1, 2, 3, 4 } { 1, 2, 3, 4, 5 } …

Wenn 0 Zahlen existieren, so sind sie in der letzten Spalte enthalten. Sind 0 Zahlen in der letzten Spalte enthalten, so sind sie auch im ganzen Dreieck enthalten. Zwei Zeilen enthalten niemals mehr als eine der beiden enthält. Keine Zeile enthält 0 Zahlen. n def: | {1, 2, 3, . . . , n}| = 0

Ek = {k, k+1, k+2, . . . } k def: E 1 E 2 E 3 . . . Ek = Ek {} E 1 E 2 E 3 . . . = { } Ek {k} = Ek+1

0 1

0 [1/2, 1/1] 1

0 [1/2, 1/1] [1/3, 1/2] 1

0 [1/2, 1/1] [1/3, 1/2] [1/4, 1/3] 1

0 1 [1/2, 1/1] [1/3, 1/2] [1/4, 1/3] . . . [1/(n+1), 1/n]

0 1 [1/2, 1/1] [1/3, 1/2] [1/4, 1/3] . . . [1/(n+1), 1/n] (0, 1]

Dezimaldarstellungen von Zahlen 742, 25 7 4 2 , 2 5 102 101 100 , 10 -1 10 -2 Binärdarstellungen von Zahlen 22 21 20 , 2 -1 2 -2 1 0 1 =4+0+1=5 1 1 0, 1 = 4 + 2 + 0 + 1/2 = 6, 5 0, 1 1 = 1/2 + 1/4 = 0, 75 0, 111111. . . = 1/2 + 1/4 + 1/8 +. . . = 1 0, 010101. . . = 1/4 + 1/16 + 1/64 +. . . = 1/3

Der binäre Baum 0, 0 1 0 1 0 1

Der binäre Baum 0, 21 01 30 41 05 16 70 18 09 10 1 11 0 12 1 13 0 114 15 16

Fast alle endlichen Ordinalzahlen sind undefinierbar. 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , n, . . . . , ω Damit lösen sich die Paradoxien der Mengenlehre.

Cantors erstes Diagonalverfahren Georg Cantor (1845 -1918)

Das Diagonalverfahren 0, 000111199999. . . 0, 123456789123. . . 0, 555555. . . 0, 789789. . . 0, 010030000700. . . Georg Cantor (1845 -1918)

Ausschöpfung unendlicher Mengen?