Cantor Sonsuz Kmeler CMPE 220 Discrete Computational Structures

Cantor & Sonsuz Kümeler CMPE 220: Discrete Computational Structures Ozan İRSOY, 2007102857 Boğaziçi Üniversitesi

• Kümeler kuramı tek bir kişi, Georg Cantor'un yaratımıdır. • Cantor'dan önce, birtakım matematikçilerin katkıları olmuştur. – Antik Yunanda, Elealı Zeno, sonsuzla ilgili problemleri ile fikrin oluşmasına büyük katkı sağlamıştır. – Bernard Bolzano, sonsuz fikrini savundu ve sonlu kümelerden farklı olarak, sonsuz kümelerin, bazı alt kümeleriyle 1 -1 eşleme yapılabildiğini gösterdi.

• Ancak kümeler kuramını doğru bir matematiksel temel üzerine oturtan Cantor olmuştur. • Cantor'un önceki işleri sayılar kuramı hakkındaydı ve 1867 ve 1871 tarihleri arasında çeşitli makaleler yayımladı.

• Cantor, 1872'de, İsviçre'ye yaptığı bir seyahatte Richard Dedekind'le tanıştı ve aralarında yıllar sürecek bir arkadaşlık başladı. • 1873 ile 1879 arasında yazıştılar ve Dedekind'in soyut düşünce biçiminin Cantor'un fikirlerinin gelişmesinde önemli etkileri oldu.

• Cantor sayılar kuramından ayrılıp trigonometrik serilere yöneldi. Bu konudaki yazıları kümeler kuramının ilk fikirlerini, ve irrasyonel sayılarla ilgili önemli sonuçları barındırıyordu. • Dedekind de bağımsız olarak irrasyonel sayılar üzerinde çalışıyordu ve “Süreklilik ve İrrasyonel Sayılar”ı yayımladı.

• 1874'de Cantor, kümeler kuramının doğumu olacak makalesini Crelle's Journal'de yayımladı. • Ardından tamamlayıcı bir makale yayınladı ancak kümeler kuramı çoktan tartışmanın odak noktası olmuştu.

• Crelle's Journal'ın yazı kadrosunda bulunan Leopold Kronecker, Cantor'un makalesinde bulunan devrimsel fikirlerden rahatsızdı. – Makalesini geri çekmek Cantor'a cazip geldi ancak Dedekind çekmemesi yönünde onu ikna etti ve Karl Weierstrass, yayımlanmasına destek oldu. – Makale yayımlandı ancak Cantor bir daha Crelle's Journal'e yazı göndermedi.

• 1874 makalesinde Cantor, en az iki farklı sonsuzdan bahsediyordu. – Daha önce sonsuzların boyutları yoktu, bütün sonsuzlar aynı boyutta varsayılıyordu. – Cantor makalede cebirsel reel sayıların doğal sayılarla 1 -1 eşlenebileceğini göstermişti. – Aynı makalede reel sayılarla doğal sayıların 1 -1 eşlenemeyeceğini de ispatlıyordu. İspat, daha sonra kullanacağı diagonal yöntemden çok daha zor, iç içe aralıklar kullanan bir yöntem içeriyordu.

• Sonraki makalesinde, Cantor, 1 -1 eşlenebilen kümelerin aynı “kuvvet”te olmasını tanımladı. – Kuvvet (power) sözcüğünü Jakob Steiner'dan aldı. • Rasyonel sayıların en küçük sonsuz kuvvete sahip olduğunu gösterdi. – Ayrıca R ile Rn in, hatta sayılabilir sayıda R'nin kopyalarının aynı kuvvette olduğunu gösterdi. – Bu aşamada Cantor “sayılabilir” sözcüğünü kullanmadı, daha sonra, 1883'de ilk kez kullanacaktı.

• 1879 -1884 yılları arasında Cantor kümeler kuramı üzerine altı parçalık bir inceleme yazdı. – Bu çalışması Matematische Annalen'de yayınlandı. – Editörün çalışmayı yayınlaması cesaret isteyen bir işti çünkü Cantor'un fikirlerine muhalefet giderek artıyordu. – Muhaliflerin en başında Kronecker yer aldı. – Kronecker'ın bu kadar olumsuz yaklaşmasının sebebi, sadece yapıcı (constructive) matematiğe inanmasıydı.

• Ancak Cantor çalışmaya devam etti. • Altı parçalık çalışmasının beşincisinde, ordinal sayıları, ve sonsuz sayıların toplanmasını ve çarpılmasını tanımladı. • Aristotle, Descartes, Berkeley, Leibniz ve Bolzano gibi matematikçilerin çalışmalarını referans gösterdi.

• 1885'de kardinal ve ordinal sayılar kuramlarını genişletti. • 1895 -97'de kümeler kuramı hakkındaki son iki çalışmasını yayınladı. Bu, günümüzün kümeler kuramı kitaplarına benziyor ve küme, alt küme gibi kavramların hepsini tanımlıyordu.

• 1897'de ilk paradoks, Cesare Burali-Forti tarafından yayımlandı. – Tüm ordinallerin kümesinin ordinal sayısı bir ordinal olmalıydı ve bu çelişkiye yol açıyordu. – Cantor'un 1885'de bu paradoksu kendisi keşfettiğine ve 1886'da David Hilbert'e hakkında yazdığına inanılıyor. – Öte yandan Cantor'un Burali-Forti'ye karşı aşırı eleştirel olması şaşırtıcıdır.

• 1899'da Cantor başka bir paradoks daha buldu. – Tüm kümelerin kümesinin kardinal sayısı neydi? Açıkça, en büyük kardinal sayı olmalıydı ancak Cantor teoremine göre böyle bir sayı yoktu. – Kronecker'ın eleştirileri doğru olabilecekmiş gibi gözüktü çünkü kümeler kuramı çok fazla paradoksa sebep oluyordu.

• Son paradoks Bertrand Russell'dan geldi (bağımsız olarak Ernst Zermelo'dan da). – A = { X | X, X'in elemanı değildir }. – Russell'ın sorusu şuydu: A, A'nın elemanı mıdır? – Elemanı olması varsayımı da, olmaması varsayımı da, çelişkiye yol açıyordu. – Russell, paradokstan Gottlob Frege'ye bahsetti.

• Bu aşamada kümeler kuramı diğer alanlar üzerinde oldukça etkili olmaya başlamıştı. • Bu sebepten, paradoksları yüzünden kümeler kuramını tamamen terk etmek yerine paradoksları giderme yolları arandı.

• Paradokslar Seçme Aksiyomundan mı kaynaklanıyordu? – Cantor, seçme aksiyomunu ayrıca belirtmeye ihtiyaç duymadan kullanmıştı. – Aksiyomu formal biçimde ifade eden ilk kişi Zermelo'ydu. Bütün kümelerin iyisıralanabileceğini ispatlamıştı (well-order). – Emile Borel, seçme aksiyomu ile Zermelo teoreminin eşdeğer olduğunu gösterdi. – Kurt Gödel 1940'da seçme aksiyomunun kümeler kuramı aksiyomlarıyla çürütülemeyeceğini gösterdi. 1963'de Paul Cohen ise aynı aksiyomlardan ispatlanamayacağını gösterdi.

• 1900'de Cantor süreklilik hipotezini ortaya attı. – David Hilbert tarafından sunumu yapıldı. – Gödel ve Cohen, seçme aksiyomu kabul edilse dahi süreklilik hipotezinin kümeler kuramı aksiyomlarından bağımsız olduğunu ispatladılar.

• Kaynakça – http: //www-history. mcs. standrews. ac. uk/Hist. Topics/Beginnings_of_set_t heory. html – http: //en. wikipedia. org/wiki/Georg_cantor