Dmonstration du thorme de Kurt Gdel dans sa

Démonstration du théorème de Kurt Gödel dans sa version de Turing-Penrose JEAN STAUNE USIC - Mardi 22 juin 2004 - 20 h.

Questions dérivées du Théorème de Gödel : Ø La pensée humaine n’est elle rien d’autre qu’un calcul ? Ø Une proposition peut elle être vraie mais non démontrable ?

Prenons des calculs tels que C 1, C 2 Ø C(N) : Trouver un nombre impair qui soit la somme de N nombres pairs (pour N = 1, 2, 3, … ∞) Ce calcul ne s’arrête jamais

Prenons des calculs tels que C 1, C 2 : Ø C 2( N) : Trouver un nombre qui ne soit pas la somme de N nombres carrés § Pour N = 1 le calcul s’arrête à 2 (car 1=12) § Pour N = 2 le calcul s’arrête à 3 (car 1= 12 +02 et 2 = 12 + 12 ) § Pour N = 3 le calcul s’arrête à 7 (car 1= 12 +02; 2 = 12 +02 ; 3= 12 +12 ; 4 = 22 +02 ; 5= 22 + 12 + 02 ; 6 = 22 + 12 )

Supposons une procédure de calcul « A » telle que : Ø « A » s’arrête si C(N) ne s’arrête pas Ø « A » n’est pas forcément capable de détecter le non-arrêt de C mais Ø « A » est SURE, cela veut dire que, si elle-même s’arrête, c’est que C ne s’arrête jamais.

Soit des calculs « C » et des procédures « A » tels que : Ø C 1(N), C 2 (N), C 3 (N), C 4 (N), … Cm (N) sont tous les calculs possibles pour tous les nombres N Ø La procédure de calcul A(Q, N) s’arrête si CQ (N) ne s’arrête pas.

Supposons que Q = N : Ø Par exemple Q = N = 1 Ø A (1, 1) s’arrête car C 1 (1) ne s’arrête jamais Ø A (N, N) s’arrête car CN (N) ne s’arrête jamais Ø A (N, N) ne dépend que d’un seul nombre (N) Ø Donc A (N, N) est l’un des calculs C 1 , C 2 , …Cm Ø appliqué à N car la liste comprend tous les calculs pouvant être faits sur N

Supposons que A (N, N) = C G (N): Ø Par exemple si G = 82 => A (N, N) = C 82 (N) quel que soit N = 1, 2, 3, … Ø Que se passe-t-il pour N = G ? Ø A (82, 82) = C 82 (82), autrement dit Ø A (G, G) = CG (G) Ø Nous avons supposé que si A (G, G) s’arrête, CG (G) ne s’arrête pas Ø Or A (G, G) C’EST CG (G) !!

La procédure « A » est supposée sûre : Ø Si « A » est sûre CG (G) ne s’arrête jamais Ø Si il s’arrêtait on en déduirait qu’il ne s’arrête jamais puisque Ø A (G, G) = CG (G) Ø Et que § Si A (G, G) s’arrête § alors CG (G) ne s’arrête pas

Déductions (1) : Ø La proposition : « le calcul CG (G) ne s’arrête jamais est Vraie Ø mais Ø La procédure de démonstration « A » ne peut le démontrer

Déductions (2) : Ø Quelle que soit la procédure de démonstration « A » , nous pouvons construire un calcul CG (G) Ø dont nous savons Ø Qu’il ne s’arrêtera jamais, alors que « A » Øne peut pas démontrer ce non arrêt

Certes il existera : Ø Une autre procédure de démonstration « B » , qui pourra juger de l’arrêt de CG (G), car B (G, G) ≠ CG (G) Ø mais alors il existera forcément Ø G’ tel que B(G’, G’) = CG’ (G’) qui ne s’arrêtera jamais ØB ne pourra pas le démontrer

Le système « S » est sûr : Ø Ø Ø - Axiome 1 - Axiome 2 - S= - Axiome n Ø A partir des axiomes on construit une proposition G Ø G = {il n’existe pas de démonstration de G dans S} ØG est vraie mais non démontrable dans S

Conclusion 1 : Ø Quel que soit le système S, S’’ considéré, il existe une proposition Ø VRAIE Ø Mais non démontrable dans ce système

Conclusion 2 : Ø Ce n’est pas en utilisant une procédure de calcul que les mathématiciens humains établissent la vérité de la proposition « CG (G) ne s’arrête pas » Ø CAR Ø Si nous utilisions un calcul pour cela, il y aurait un calcul CG (G) dont nous ne pourrions pas savoir qu’il s’arrête ØOr, nous le savons !

Conclusion 3 : Ø Au cœur du domaine Ø le plus rationnel qui soit, Ø nous avons trouvé un exemple Ø montrant que la pensée Øne repose pas uniquement Ø sur un calcul.

Conclusion 4 : EUREKA ! ØGödel a démontré ce qui paraissait indémontrable Ce qui a fait dire à Einstein Ø : Ø « Gödel est le plus grand logicien depuis 2500 ans »