Dmonstration du thorme de Pythagore Prenons quatre triangles

Démonstration du théorème de Pythagore

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c b a

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c c b b a a

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c c b b a c b a a

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c c b b a c b a a

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c b a On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes a

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c c b b b a a On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes c b a c a a

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c c b b a a On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes a c b c a b

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c b a On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes b c a a c c b a b b c c a b

Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes b b a c c a a a b c c a c c b a b b c c a b

On obtient deux quadrilatères ABCD de même coté : a + b Or si un quadrilatère a tous ses côtés de la même longueur alors c’est un losange Donc ABCD est un losange sur les deux figures a+b b A c c a c b c D a a+b a A B b b b c c c b B a c a b C D C a b

ABCD est un losange et a un angle droit Or si un losange a un angle droit alors c ’est un carré Donc ABCD est un carré Angles droits a+b b A c c D a a b A a+b a B b a+b b b c c c b B a c a b C D C a b

ABCD est un carré AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b a+b a c c F b a H A a a E c c D B b a+b a b b I A G a+b b M B a b c c S c N c a b C D C a R b

ABCD est un carré AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Démontrons que MNRS est un carré Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b a+b a c c F b a H A a a E c c D B b a+b a b b I A G a+b b M B a b c c S c N c a b C D C a R b

Démontrons que MNRS est un carré a+b A a b M a c S c a b D C a R b c a b N c S c b c N B D C a R b

Démontrons que MNRS est un carré a+b A a b M a c S c C a R b D c a C a R b SDR et RCN sont deux triangles semblables a b D b N c S c b c N B Donc les angles DRS et RNC sont égaux De même les angles DSR et NRC sont égaux

Démontrons que MNRS est un carré a+b A a b M a c S c a b D C a R b c a b N c S c b c N B D C a R b Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires

Démontrons que MNRS est un carré a+b A a b M a c S c a b D C a R b c a b N c S c b c N B D C a R b Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires Or l’angle DRC est plat donc SRN mesure 90°

Démontrons que MNRS est un carré a+b A a b M a c S c a D C a R b a b D c b N c S c b c N B C a R b MNRS est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et un angle droit. Donc MNRS est un carré.

ABCD est un carré AGFI est un carré de côté a Donc MNRS est un carré de côté c HFEC est un carré de côté b a+b a c c F b a H A a a E c c D B b a+b a b b I A G a+b b M B a b c c S c N c a b C D C a R b

L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire: a+b a c c F b a H A a a E c c D B b a+b a b b I A G a+b b M B a b c c S c N c a b C D C a R b

L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I A A c a G b a F E c b c D a a H b b M c c S c N c a b C D C a R b

L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I A M a G b a F E c b c D a c c H b S c N c a b C D C a R b

L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I A M a G b a F E b c D a c c H b S c N c b C D a R

L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : L’aire du carré AGFI est a² L’aire du carré MNRS est c² L’aire du carré HFEC est b² Donc: a² + b² = c² I A M a G a c c F E b H b C S N c c R

Nous venons de démontrer le théorème de Pythagore c b a² + b² = c² a Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des longueurs deux côtés de l’angle droit est égal au carré de la longueur de l’hypoténuse.