Congruenza diretta e inversa PROPRIET La congruenza tra

Congruenza diretta e inversa PROPRIETÀ. La congruenza tra due figure piane mantiene inalterata la lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli; ciò che cambia è la posizione delle figure nel piano. DEFINIZIONE. Si chiamano movimenti rigidi quelle trasformazioni geometriche mantengono inalterate forma ed estensione. Possiamo distinguerli in: • Movimenti rigidi diretti: sono quelli che si compiono nel piano in cui si trovano le figure da sovrapporre. In questo caso tali figure sono direttamente congruenti. A B • Movimenti rigidi inversi: sono quelli che si compiono uscendo dal piano in cui si trovano le figure da sovrapporre. In questo caso tali figure sono inversamente congruenti. Le trasformazioni isometriche 1

La traslazione Consideriamo il triangolo rettangolo ABC e spostiamolo nel piano in modo tale che i segmenti che uniscono A con A’, B con B’ e C con C’ siano paralleli tra loro e tali da avere: § la stessa lunghezza, che prende il nome di modulo; § la stessa direzione, quella della retta a cui appartengono; § lo stesso verso di percorrenza, in questo caso da sinistra verso destra, come indicato dalla freccia. DEFINIZIONE. La traslazione è un movimento isometrico diretto del piano determinato da un vettore che fissa modulo, direzione e verso di spostamento. PROPRIETÀ. La traslazione è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l’ampiezza degli angoli; due figure ottenute mediante una traslazione sono direttamente congruenti. Le trasformazioni isometriche 2

La rotazione è un movimento rigido che permette di ruotare una figura attorno a un punto, detto centro di rotazione, di un angolo con ampiezza assegnata. La rotazione può essere oraria o antioraria. DEFINIZIONE. La rotazione è un movimento isometrico diretto del piano determinato da un centro di rotazione e da un angolo orientato che definisce l’ampiezza e il verso del movimento nel piano. PROPRIETÀ. La rotazione è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l’ampiezza degli angoli; due figure ottenute mediante una rotazione sono direttamente congruenti. Le trasformazioni isometriche 3

La simmetria assiale DEFINIZIONE. La simmetria assiale di asse a è un movimento isometrico del piano ed è tale da associare ad ogni punto del piano un punto simmetrico rispetto alla retta a. PROPRIETÀ. La simmetria assiale è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l’ampiezza degli angoli; due figure ottenute tramite una simmetria assiale sono inversamente congruenti. DEFINIZIONE. Tutti i punti della figura che appartengono contemporaneamente anche all’asse si chiamano punti uniti. PROPRIETÀ. Una figura possiede un asse di simmetria se esiste una retta tale che è possibile associare a ciascun punto della figura un altro punto anch’esso appartenente alla figura. Le trasformazioni isometriche 4

La simmetria centrale DEFINIZIONE. La simmetria centrale di centro O è un movimento isometrico diretto del piano ed è tale da associare ad ogni punto del piano un punto simmetrico rispetto al centro O. PROPRIETÀ. Due punti qualunque A e A’ si corrispondono in una simmetria centrale di centro O se O è il punto medio del segmento AA’. PROPRIETÀ. La simmetria centrale è una trasformazione geometrica che conserva le misure delle lunghezze e l’ampiezza degli angoli; due figure ottenute tramite una simmetria centrale sono direttamente congruenti. PROPRIETÀ. Una figura possiede un centro di simmetria se esiste un punto tale che è possibile associare a ciascun punto della figura un altro punto anch’esso appartenente alla figura. Le trasformazioni isometriche 5

La simmetria e i poligoni Bisettrice di un angolo La bisettrice dell’angolo è l’asse di simmetria dell’angolo. Tutti i punti della bisettrice r e il vertice V sono punti uniti. Triangolo isoscele In un triangolo isoscele la bisettrice, l’altezza, l’asse e la mediana, rispetto alla base, coincidono nello stesso segmento. La retta r che contiene tale segmento rappresenta l’asse di simmetria del triangolo. Tutti i punti notevoli del triangolo e gli altri punti del segmento CH sono punti uniti. Le trasformazioni isometriche 6

La simmetria e i poligoni Triangolo equilatero In un triangolo equilatero la bisettrice, l’altezza, la mediana e l’asse di ciascun lato coincidono nello stesso segmento. Le rette r 1, r 2, r 3, che contengono tali segmenti sono tre assi di simmetria del triangolo equilatero. Parallelogrammo Il punto O d’incontro delle due diagonali è il centro di simmetria del parallelogrammo. In generale il parallelogrammo non ha assi di simmetria. Le trasformazioni isometriche 7

La simmetria e i poligoni Rettangolo Le due rette r 1 e r 2, perpendicolari nei punti medi della base e dell’altezza, sono assi di simmetria. Il punto O, intersezione delle rette r 1 e r 2, rappresenta il centro di simmetria del rettangolo. Quadrato Le quattro rette r 1, r 2, perpendicolari nei punti medi dei lati, e r 3 e r 4, contenenti le diagonali BD e AC, sono gli assi di simmetria del quadrato. Il punto O, comune alle quattro rette, è il centro di simmetria del quadrato. Le trasformazioni isometriche 8

La simmetria e i poligoni Rombo Le due rette r 1 e r 2 contenenti le diagonali sono assi di simmetria del rombo. I punti del segmento AC sono punti uniti dell’asse r 2, i punti dell’asse BD sono punti uniti dell’asse r 1. Il punto O, intersezione delle due diagonali, è il centro di simmetria del rombo. Trapezio isoscele La retta r perpendicolare alle due basi e passante per il loro punto medio è l’asse di simmetria del trapezio. Le trasformazioni isometriche 9

La simmetria e i poligoni Poligoni regolari Le sei rette della figura a lato rappresentano altrettanti assi di simmetria. In generale, un poligono regolare ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati. Tutti i poligoni con un numero pari di lati hanno anche un centro di simmetria; quelli con un numero dispari di lati non possiedono centro di simmetria. Circonferenza e cerchio Qualunque retta passante per il centro della circonferenza rappresenta un asse di simmetria. La circonferenza possiede quindi infiniti assi di simmetria. Il centro O della circonferenza è il centro di simmetria ed è punto unito di tutti questi assi. Le trasformazioni isometriche 10