Chap 6 Finite Element Method 6 4 Solution

Chap. 6 Finite Element Method 6. 4 Solution of the Wave Equation 6. 5 Automatic Mesh GenerationⅠ 6. 6 Automatic Mesh GenerationⅡ 6. 7 Bandwidth Reduction

6. 4 Solution of the Wave Equation � typical wave equation: inhomogeneous scalar Helmholtz’s equation (6. 56) Φ: field quantity g: source function k=ω√με TE mode: Φ=Hz TM mode: Φ=Ez � three distinct special case of wave equation - k=0=g: Laplace’s equation - k=0: Poisson’s equation - k=unknown, g=0: homogeneous, scalar Helmholtz’s equation � chap. 4 (variational method) 를 이용, 식 6. 56 의 solution은 (6. 57) (6. 58) (6. 59) 1

� potential Φ와 source function g를 triangular element에 대한 shape function인 αi에 대한 식으로 나타내면 (6. 60) (6. 61) � 위의 두 식을 식 6. 59 에 대입하면 (6. 62) where 2

� TM mode에서 Φp=0 이라 하면 양변에 (6. 68) (6. 69) 를 곱하면 (6. 70 a) ⇒ eigenvalue problem (6. 70 b) I : unitaty matrix � eigenvalue λ는 C와 T가 symmetric 하다면 항상 실수값을 갖는다. 4

6. 5 Automatic Mesh Generation Ⅰ - Rectangular Domains � finite element method를 적용할 때 가장 큰 어려움은 data preparation에 드는 시 간이 길다는 것으로 자동으로 mesh를 생성하는 방법에 대해 알아본다. � 그림 6. 12와 같은 rectangular solution region을 먼저 rectangular element로 나 눈 후에 각각의 element를 두 개의 triangular element로 나눈다. � x, y 방향으로 나눈 개수가 각각 nx, ny개라고 하면 element와 node의 개수는 (6. 71) (6. 72) 5

6. 5 Automatic Mesh Generation Ⅰ - Rectangular Domains � 각각의 노드에 대한 전역 좌표(global coordinate)를 구하려면 x, y 방향에 대한 노 드 간의 거리 Δxi, i=1, 2, . . . , nx, Δyj, j=1, 2, . . . , ny를 포함하는 배열이 필요하다. � mesh -uniform mesh: Δxi 와Δyi 가 일정한 크기를 가짐. -nonuniform mesh: otherwise. � uniform 한 mesh 형성 (6. 73) where 6

6. 6 Automatic Mesh Generation Ⅱ - Arbitrary Domains � mesh generation 의 basic step -subdivide solution region into few quadrilateral blocks -separately subdivide each block into elements -connect individual blocks 6. 6. 1 Definition of Blocks � solution region 은 quadrilateral block으로 나눈다. 서로 다른 constitutive parameter (σ, μ, ε)를 갖는 subdomain은 separate block으로 나타내야 한다. � natural coordinate system (ζ, η)를 이용, x, y 좌표를 나타내면 (6. 74) (6. 75) 7

� shape function은 다음과 같이 나타낼 수 있다. for corner nodes, (6. 75) for midside nodes, (6. 76) � shape function의 property 두 조건을 만족함. element edge에서 quadratic(정사각형 모양)해짐. 8

6. 6. 2 Subdivision of Each Block � 각각의 block에 대해 ζ, η 방향으로의 element subdivision 개수인 N DIV X 와 N DIV Y를 명시해야 한다. where weighting function 9

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