APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U D 8 2

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U. D. 8 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1

OBTENCIÓN FÓRMULA DE UNA FUNCIÓN U. D. 8. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 2

FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS • • • Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a). - La recta x = 1 es una asíntota vertical. b). - La recta y = 1 es una asíntota horizontal. • SOLUCIÓN • • Para que la recta x = 1 sea una asíntota vertical se tiene que anular el denominador. Tendrá la forma: f(x) = k /(x – 1) • • Para que la recta y = 1 sea una asíntota horizontal debe tener la forma: f(x) = 1 + k/x • • • Aunando ambas expresiones: f(x) = 1 + k / (x – 1) Operando: f(x) = (x – 1 + k) / (x – 1) La función más simple será: f(x) = x / (x – 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. E 1 3

FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS • • • Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a). - La recta x = – 2 es una asíntota vertical. b). - No hay ninguna asíntota horizontal. • SOLUCIÓN • Para que la recta x = – 2 sea una asíntota vertical se tiene que anular el denominador. Tendrá la forma: f(x) = k /(x + 2) • • E 2 • • Para que no halla una asíntota horizontal el numerador no debe poder simplificarse con el denominador en el infinito. Tendrá la forma: f(x) = ex / (x + 2) • • Pues si hallamos el límite: A. H. : y = lím [ex / (x + 2)] = +oo x oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 4

FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS • • • Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a). - Las rectas x = – 1 y x = 1 son asíntotas verticales. b). - La recta y = x es una asíntota oblicua. • SOLUCIÓN • Para que la recta x = – 1 y x = 1 sean asíntotas verticales se tiene que anular el denominador en dichos valores de x. Tendrá la forma: f(x) = k /(x – 1). (x + 1) • • • E 3 Para que haya una asíntota oblicua el grado del numerador debe ser un grado mayor que el denominador, en este caso de grado tres. Tendrá la forma: f(x) = x 3 / (x 2 – 1) Pues si hallamos el límite: A. O. : m = lím [f(x)/x] = lím [x 3 / (x 3 – x)] = 1 x oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 5

FÓRMULA MEDIANTE LAS DERIVADAS • • • Escribe una función lineal que verifique las siguientes condiciones: a). - La derivada en x = 3 vale 2. b). - Pasa por el punto P(– 5 , 7). • SOLUCIÓN • • • La derivada de una función lineal es la pendiente, m, de dicha función. m=2 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m. (x – xo) y – 7 = 2. (x – (– 5)) y – 7 = 2. (x + 5) y – 7 = 2. x + 10 y = 2. x + 17 F(x) = 2. x + 17 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. E 4 6

FÓRMULA MEDIANTE LAS DERIVADAS • • • Escribe una función lineal que verifique las siguientes condiciones: a). - La derivada en x = 5 vale – 1/3. b). - Pasa por el punto origen de coordenadas. • SOLUCIÓN • • La derivada de una función lineal es la pendiente, m, de dicha función. m = – 1/3 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m. (x – xo) y – 0 = – 1/3. (x – 0) y = – 1/3. x F(x) = – x / 3 @ Angel Prieto Benito E 5 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 7

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES • • Escribe una función cuadrática que verifique las siguientes condiciones: Presenta un máximo relativo en el punto Max(2, 14). E 6 • • EJEMPLO Sea la función pedida: y = – x 2 + b. x + c, pues debe ser convexa para que tenga un máximo relativo. x = 2 es el máximo, que está en el vértice. x = - b /2. a 2 = - b /2. (-1) 2 = b / 2 b = 4 • • Por pasar por el punto (2, 14) 14 = – 22 + 4. 2 + c 14 + 4 – 8 = c 10 = c • F(x) = – x 2 + 4. x + 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 8

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES • • Escribe una función cuadrática que verifique las siguientes condiciones: Presenta un mínimo relativo en el punto Mín(3, – 2). E 7 • • EJEMPLO Sea la función pedida: y = x 2 + b. x + c, pues debe ser cóncava para que tenga un mínimo relativo. x = 3 es el mínimo, que está en el vértice. x = - b /2. a 3 = - b /2. 1 3 = - b / 2 b = – 6 • • Por pasar por el punto (3 , – 2) – 2 = 32 – 6. 3 + c – 2 – 9 + 18 = c 7=c • F(x) = x 2 – 6. x + 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 9

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES • • • Escribe una función cúbica que verifique las siguientes condiciones: a) Presenta un mínimo relativo en el punto Mín(2 , 0). b) Pasa por el punto (0, 0) • • • EJEMPLO Sea la función pedida: y = x 3 + b. x 2 + c. x + d. Por pasar por el punto (0, 0): 0 = 0 + 0 + d d = 0 Luego la función es: y = x 3 + b. x 2 + c. x x = 2 es el mínimo, cuya derivada es cero. y´= 3. x 2 + 2. b. x + c = 0 3. 4 + 4. b + c = 0 Por pasar por el punto (2 , 0) 0 = 23 + b. 22 + c. 2 8 + 4. b + 2. c = 0 Resolviendo el sistema: c = – 4 b = – 2 F(x) = x 3 – 2. x 2 – 4. x E 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 10