Adam Vrileuis dimas h marutha dimas p MATEMATIKA

Adam Vrileuis, dimas h. marutha, dimas p. MATEMATIKA I n t e g r a l

Konsep INTEGRAL MATEMATIKA I n t e g r a l

BENTUK UMUM Integral tak tentu f (x)dx =F(x)+ c dx : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan f(x) : fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c : konstanta Teorema- teorema dalam Integral tak tentu TEOREMA 1 Jika n bilangan rasional dan n 1, maka , dengan c adalah konstanta TEOREMA 3 KELINIEARAN Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx TEOREMA 2 Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka òk f(x)dx=k f(x) dx TEOREMA 4 ATURAN INTEGRAL TRIGONOMETRI

INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI TEOREMA 1 TEOREMA 2 TEOREMA 3

BENTUK UMUM Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi inetgral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu. Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut : Jika f kontinu pada [a, b], maka dengan F antiturunan sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.

INTEGRAL Metode subtitusi Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu antiturunan dari f. sehingga, jika u = g(x), maka f(g(x)) g'(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c Langkah untuk mengintegralkan dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut 1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du 2. Tentukan f(u) du

INTEGRAL TRIGONOMETRI M e t o d e s u b t i t u s i Bentuk sinn x dxdan cosn x dx Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengeluarkan factor sin x atau cos x, gunakan persamaan Sin 2 x + cos 2 x = 1 Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut berikut : Bentuk sinm x cosn x dx Apabila m dan n ganjil dan positif, keluarkan factor sin x atau cos x, kemudian gunakan : Sin 2 x + cos 2 x = 1 Apabila m dan n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut berikut :

INTEGRAL TRIGONOMETRI M e t o d e s u b t i t u s i Bentuk sinax cosbx dx , cosax sinbx dx , sinax sinbx dx , cosax cosbx dx Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaan berikut ini : 1. 2. 3. 4.

INTEGRAL Metode PArsial Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, kita dapat menggunakan teknik pengintegralan lain yang disebut Metode Parsial. Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat dideferensialkan. u dv = u. v - v du Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat dideferensialkan. Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu : 1. Pemilihan dv harus dapat diintegralkan untuk memperoleh v, yaitu v = dv 2. òu du harus lebih mudah diselesaikan daripada udv

INTEGRAL Menghitung luas daerah Untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva atau garis dalam suatu selang tertentu dapat digunakan Konsep Integral Reiman (Metode potong, hampiri dan integralkan / metode polygon).

INTEGRAL Contoh Soal-soal Diketahui Nilai =…. a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2 PENYELESAIAN ( substitusikan nilai batas bawah dan atasnya ) ( jika kedua ruas dikalikan dengan ( – ) akan didapat ) ( gunakan suku banyak untuk mendapatkan nilai a ) Untuk menentukan nilai a dapat dicari dengan menentukan faktor dari perkalian koefisien a 3 dan a 0 yaitu 1 dan – 14. Faktor – faktor yang mugkin adalah : ± 14, ± 7 , ± 2, ± 1. Karena nilai a yang memenuhi adalah 2 maka ilai ½ a = 1

INTEGRAL Contoh Soal-soal Nilai a. b. c. d. e. PENYELESAIAN ( rubah ilai sin 2 x menjadi 2 sin x cos x ) ( buat permisalan p = cos x. Kemudian diturunkandp = –sin x dx ) Substitusi nilai batas dan bawahya

INTEGRAL Contoh Soal-soal Hasil dari a. b. c. d. e. x 2 sin x + 2 x cos x + C ( x 2 – 1 )sin x + 2 x cos x + C ( x 2 + 3 )sin x – 2 x cos x + C 2 x 2 cos x + 2 x 2 sin x + C 2 x sin x – ( x 2 – 1 )cos x + C PENYELESAIAN diturunkan Diintegralkan X 2 + 1 Cos x 2 x Sin x + 2 – cos x – 0 – sin x +

INTEGRAL Contoh Soal-soal • Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas. a. c. b. d. e. PENYELESAIAN Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potong kedua kurva. Substitusikan y = 2 x pada y = 8 – x 2 2 x = 8 – x 2 + 2 x – 8 = 0 (x+4)(x– 2)=0 x + 4 = 0 atau x– 2=0 = x = – 4 atau x=2 L= = = =

INTEGRAL Contoh Soal-soal Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum. a. c. e. b. d. PENYELESAIAN y = x 2 dan x + y – 2 = 0 (y=2–x) Substitusi kedua persamaan untuk mendapat titik potongnya. x 2 = 2 – x x 2 + x – 2 = 0 (x+2)(x– 1)=0 x = – 2 atau x = 1 V= = = = =

Adam Vrileuis, dimas h. marutha, dimas p MATEMATIKA I n t e g r a l