RACUNARI I EKSPERIMENTALNA MATEMATIKA Slavik Jablan Eksperimentalna matematika

RACUNARI I EKSPERIMENTALNA MATEMATIKA Slavik Jablan

Eksperimentalna matematika n n n n Uvid u nove probleme i intuicija Otkrivanje novih obrazaca (“patterns”) i relacija Primena vizuelizacije u cilju otkrivanja matematickih principa Testiranje i obaranje hipoteza Istrazivanje rezultata i otkrivanje ideja za potencijalni formalni dokaz Predlaganje pristupa za formalno dokazivanje Izbegavanje napornih izracunavanja i njihova zamena racunarskim proracunima Potvrda analiticki dobijenih rezultata J. Borwein and Bailey D. : Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21 st Century, Wesley, 2003. Casopis “Experimental Mathematics”

Fraktali Benoit Mandelbrot Cosmati-mozaici, 13 vek Leibniz Weierstrass Koch Sierpinski Cantor Klein Julia

Elektronski casopis “Visual Mathematics” http: //www. mi. sanu. ac. yu/vismath/

Lin. Knot S. Jablan, R. Sazdanovic & KNOT 2000 M. Ochiai, N. Imafuji & Knot Theory Dror Bar Natan

Lin. Knot – Teorija cvorova pomocu racunara n “Teorija cvorova je novo i bogato podrucje matematike. Iako su “realni'' cvorovi poznati svima i mnostvo ideja u teoriji se moze iskazati svakodnevnim jezikom, to je podrucje sa mnostvom otvorenih pitanja. ”

Jegulja koja resava problem iz teorije cvorova

“Packman”

Lorenzovi cvorovi i linkovi Joan Birman Etienne Ghys Jos Leys Pierre Dehornoy

Lorenz-ovi cvorovi i linkovi

Lorenzovi cvorovi i linkovi n Hipoteza: Lorenzovi cvorovi su homoloski “debeli”

Zasto Lin. Knot ? Cvor Necvor “Realni” i “mathematicki” cvorovi Link

Ambientalna izotopija Jednakost cvorova i linkova Dva cvora ili linka su jednaki ako jedan moze biti transformisan u drugi pomocu ambientalne izotopije.

Senke cvorova i linkova

Katastrofa

Tablice cvorova i linkova n n n Kelvin Tait, Kirkman, Little(kraj 19. veka) Reidemeister (1932) Rolfsen (1976) Knotscape (Thislethwaite, Hoste…) “Periodni sistem” cvorova i linkova? ? ?

Reidemeister-ovi potezi

n Uvrtanje (“Flype”) Tait-ova Flype Hipoteza (Teorema) Svaka minimalna projekcija nekog alternirajuceg cvora ili linka se moze dobiti iz bilo koje njegove minimalne projekcije nizom uvrtanja.

Amfihiralnost Tait-ova Hipoteza: Amfihiralan cvor ima paran broj preseka.

Amfihiralnost n=16 n=15 10**2 0. 2. . -2 0. -1. -1. -2 0 (Thistlethwaite) n=39

Amfihiralnost 10***2: 2: . 2 0: 2 0. 2 1 0

Dowker-ovi i Gauss-ovi kodovi Dowker-ov kod Boromejskih prstenova je {{2, 2, 2}, {6, 8, 12, 10, 2, 4}}. Gauss-ov kod cvora-osmice je {{1, 2, 4, 3, 2, 1, 3, 4}}

Conway-eva notacija SPLET (“TANGLE”)

ELEMENTARNI SPLETOVI

OPERACIJE SA SPLETOVIMA Zbir i proizvod spletova Paralelna veza (“ramification”) spletova

2 2 2 3 3 3 2 4 3 4 2 5 3 5 2 6 3 6 FAMILIJE CVOROVA I LINKOVA

Jones-ov polinom 2 1 + x 2 3 1 + x 2 - x 3 4 1 + x 2 - x 3 + x 4 5 1 + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 6 1 + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + x 6 7 1 + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + x 6 - x 7 8 1 + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + x 6 - x 7 + x 8 9 1 + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + x 6 - x 7 + x 8 - x 9 HOMFLYPT polinom 2 1 - x 2 - xy 3 1 - x 2 - 2 xy 4 1 - x 2 - 3 xy + x 3 y + x 2 y 2 5 1 - x 2 - 4 xy + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 6 1 - x 2 - 5 xy + 3 x 3 y + 6 x 2 y 2 - x 4 y 2 - x 3 y 3 7 1 - x 2 - 6 xy + 4 x 3 y + 10 x 2 y 2 - 3 x 4 y 2 - 4 x 3 y 3 8 1 - x 2 - 7 xy + 5 x 3 y + 15 x 2 y 2 - 6 x 4 y 2 - 10 x 3 y 3 + x 5 y 3 + x 4 y 4 9 1 - x 2 - 8 xy + 6 x 3 y + 21 x 2 y 2 - 10 x 4 y 2 - 20 x 3 y 3 + 4 x 5 y 3 + 5 x 4 y 4

HOMFLYPT polinom sveden na jednu promenljivu, familija cvorova i linkova n (n=2, 3, 4…) 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

A 000096 n(n+3)/2 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

A 005581 (n-1)n(n+1)/6 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

A 005582 n(n+1)(n+2)(n+7)/24 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

A 005583 Koeficijenti Chebyshev-ljevog polinoma 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

A 005584 Koeficijenti Chebyshev-ljevog polinoma 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

? ? ? Cestitke od “Enciklopedije celobrojnih nizova” (N. Sloane) ! Pronasli ste novi niz!!! 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

Bez komentara! 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

A 000330 Kvadratni piramidalni brojevi n(n+1)(2 n+1)/6 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

A 057788 Niz povezan sa koeficijentima Chebyshev-ljevog polinoma 1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 x 14 x 16 x 18 x 20 2 1 -2 3 1 -3 4 1 -4 2 5 1 -5 5 6 1 -6 9 -2 7 1 -7 14 -7 8 1 -8 20 -16 2 9 1 -9 27 -30 9 10 1 -10 35 -50 25 -2 11 1 -11 44 -77 55 -11 12 1 -12 54 -112 105 -36 2 13 1 -13 65 -156 182 -91 13 14 1 -14 77 -210 294 -196 49 -2 15 1 -15 90 -275 450 -378 140 -15 16 1 -16 104 -352 660 -672 336 -64 2 17 1 -17 119 -442 935 -1122 714 -204 17 18 1 -18 135 -546 1287 -1782 1386 -540 81 -2 19 1 -19 152 -665 1729 -2717 2508 -1254 285 -19 20 1 -20 170 -800 2275 -4004 4290 -2640 825 -100 2 21 1 -21 189 -952 2940 -5733 7007 -5148 2079 -385 21

Familija cvorova i linkova daje familiju celobrojnih nizova: p=2 k (k=1, 2, 3, …) “dijagonalni” niz an= C(n+2 k-1, 2 k-1)(n+k)/k p=2 k+1 (k=1, 2, 3, …) “dijagonalni” niz an=C(n+2 k, 2 k)(2 n+2 k+1)/(2 k+1) Svi nizovi su odredjeni opstim formulama, ukljucujuci nove nizove!

Detektovanje cvorova i linkova sa trivijalnim Jonesovim polinomom Postoje beskonacne familije linkova sa trivijalnim Jonesovim polinomom (Eliahou, Kauffman, Thistlethwaite, 2003). PROBLEM: potraga za cvorom koji ima trivijalan Jonesov polinom ( O. Dasbach) 9*3: -1. 2. -1: -3 9*5 1 2: -1. 2. -1: -5 -1 -2

Poliedarski cvorovi i linkovinotacija?

“Algoritam ludog pauka” Definicija Ludi pauk je pauk koji plete samo bazicne poliedre.

Algoritam ludog pauka Koordinatni sistem spleta |2| Ne-algebarski splet |2| 1 2 3 2 5

Tipovi oblasti: a) sa jednim temenom tipa 1 b) Sa dva temena tipa 2 c) Sa tri ili vise temena tipa 3 Pravila za dodavanje 1 -spletova: Ubacivanje novog 1 -spleta u otvorenu oblast menja njen tip i tipove susednih oblasti. Ako je originalni tip 1, dodavanje novog 1 -spleta je zabranjeno, jer ce se dobiti digon. Ako je tip oblasti 2 ili 3, on ce biti izmenjen u 1, a tipovima susednih oblasti se dodaje 1. Pravila zatvaranja: Zatvaranje dobijenog n-spletya je bazicni poliedar, ako spajanje noti koje izlaze iz njega ne dovodi do pojave digona. Spajanjem slobodnih krajeva jedna oblast moze biti zatvorena ili se dve oblasti spajaju u jednu. To znaci da tip oblasti koja se zatvara mora biti veci od 2 i da zbir tipova oblasti dvaju oblasti koje se spajaju mora biti veci od 2.

FAMILIJE BAZICNIH POLIEDARA n-antiprizmaticni bazicni poliedri: 6*, 8*, 10*, 12 A, … |2| (1 2)k Bazicni poliedri sa n=12 preseka: |2| 1 2 1 2 1 2 12 A |2| 1 2 1 2 3 2 12 B |2| 1 2 3 2 1 2 12 F |2| 1 2 3 4 3 2 12 K |2| 1 2 1 3 2 12 D |2| 1 2 1 3 2 4 3 2 12 L |2| 1 2 1 6 1 2 3 2 12 H |3| 1 2 3 2 1 2 3 12 G |3| 1 2 1 3 2 3 12 C |3| 1 2 3 2 1 2 12 I |3| 1 5 4 3 2 8 7 12 E |3| 1 6 7 6 5 4 3 2 3 12 J (Ab)3 (Ab)4 (Ab)5 Opsti oblik: |n-1|s 0 k s s 1 r Drugi kriterijum minimalnosti: minimalna duzina niza s 6* 8* Analogija sa BFR-s (Braid Family Representatives) oblika (Ab) n 10*

Familija bazicnog poliedra 9*: |2| s 0 k 3 2 1 2 9* |2| 1 2 1 3 2 1 2 133* |2| 1 2 1 2 1 3 2 1 2 10** |2| 1 2 3 2 1 2 148* |2| 1 2 1 2 3 2 1 2 11* |2| 1 2 1 3 2 1 2 1510* |2| 1 2 1 2 1 3 2 1 2 12 B |2| 1 2 1 2 3 2 1 2 1625* |2| 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 9* 133* 10** 148* 11* 1510* 12 B 1625*

Ulaz: cvorovi i linkovi u Conway-evoj notaciji

Konverzione funkcije §f. Find. Con §f. Classic. To. Con §f. Pdata. From. Dow §f. PData. From. Dowker §Dowfrom. PD §f. Knotscape. Dow §f. Signs. KL

Racionalni cvorovi i linkovi Rational. KL- racuna broj svih racionalnih cvorova i linkova sa n preseka U skladu sa sledecom formulom: 2 n-4+2 [n/2]-2

NESTASNI NECVOR

CVOROVI KOJI SU STVARNO UCVORENI TROLISNIK NECVOR Problem dokazivanja i “merenja” ucvorenosti (“unlinking number”) Je jedno od najtezih pitanja u teoriji cvorova.

Broj odvezivosti u=1 u=0

HIRURGIJA (SECENJE I PONOVNO SPAJANJE) Da bismo racunali unknotting/unlinking number (“broj ucvorenosti”) potrebna nam je hirurgija. U svakom preseku je moguce izvrsiti promenu: transformisati “gornji” presek u “donji” i obratno (zamenu niti).

BROJ ODVEZIVOSTI Broj odvezivosti koristimo kao meru “ucvorenosti” cvora. DEFINICIJA Broj odvezivosti (“unlinking number”) u (L) linka L je minimalni broj promena preseka koje su potrebne da bismo odvezali link L (tj. transformisali ga u krug ili skup nevezanih krugova). Minimum trazimo preko svih projekcija linka L.

BROJ ODVEZIVOSTI KLASICNA DEFINICIJA dozvoljeno je izvrsiti ambijentalnu izotiopiju posle svake promene presekai zatim nastaviti sa procesom odvezivanja na novo-dobijenoj projekciji STANDARDNA DEFINICIJA sve promene preseka moraju se izvrsiti istovremeno na fiksiranoj projekciji

Odvezivanje cvora 5 1 4 514 5 -1 4 312 3 -1 2

NAKANISHI & BLEILER-OV PRIMER 108 (5 1 4) • Alternirajuci cvor sa samo jednom minimalnom projekcijom • STANDARDNA DEF: potrebne su 3 promene preseka da bi ga odvezali If in the first definition we restrict "all projections" to "all the minimal projections", cannot always je obtain the correct • KLASICNA DEF: praviwe broj odvezivosti 2 unknoting number. • STANDARDNA DEF. primenjena na neminimalnu projekciju daje tacan broj odvezivosti 2

BERNHARD- JABLANOVA HIPOTEZA 1. u(L) = 0, gde je L ne-cvor (ne-link) 2. u(L) = min u(L-)+1, gde minimum uzimamo preko svih minimalnih projekcija linkova L- dobijenih iz minimalne projekcije linka L pomocu jedne promene preseka Algoritam: 1. Pocinjemo od minimalne projekcije cvora ili linka L 2. Vrsimo promenu preseka 3. Minimizujemo dobijeni linkove L 4. Ponavljamo korake 2&3 za sve preseke polaznog linka L 5. Ponavljamo korake 1 -4 za sve novo-dobijene linkove sve dok ne odvezemo prvi. Broj odvezivosti je broj koraka u ovom rekurzivnom procesu odvezivanja.

Broj odvezivosti je invarijanta familija FAMILIJA p 1 q (p≥q≥ 2) Brojevi odvezivosti su dati u levom gornjem uglu.

BROJ ODVEZIVOSTI u. BJ ALTERNIRAJUCI CVOROVI I LINKOVI U skladu sa Tait-ovom Flyping Teormom (Menasco & Thistlewait 1991) sve minimalne projekcije imaju isti broj odvezivosti, pa je dovoljno raditi samo sa jednom minimalnom projekcijom NE-ALTERNIRAJUCI CVOROVI I LINKOVI Moramo raditi sa svim minimalnim projekcijama. Ovo sledi iz primera koji je otkrio A. Stoimenow (2001)- cvor 14 36750 ima dve minimalne projekcije koje imaju razlicite brojeve odvezivosti (2 i 3).

Novi rezultati: n Mathematica 6. 0 i grafika n Notebooks, applets

Virtualni cvorovi i linkovi KLs n n n Interpretacije Ne-realizabilni Gauss-ovi kodovi (ne-planarni 4 -valentni grafovi) Virtualizacija preseka

Virtualni cvorovi i linkovi (Louis Kauffman) n cvorovi i linkovi na razlicitim povrsima Hopf-ov link n=1 Boromejski prstenovi n=5

Virtualni cvorovi i linkovi n n Planarne izotopije (Reidemeister-ovi potezi) klasicni Reidemeister-ovi potezi a) virtualni Reidemeister-ovi potezi b) zabranjeni potez (Nelson)

Virtualni cvorovi i linkovi u Conway-evoj notaciji PD[X[12, 6, 1, 7], X[10, 2, 11, 1], X[2, 10, 3, 9], X[11, 3, 12, 4], X[8, 4, 9, 5], X[5, 7, 6, 8]] Gauss-ov kod: O 1+U 2 -O 3 -U 4+U 5+O 6+U 1+U 6+O 5+U 3 -O 2 -O 4+ Conway-eva notacija: (1, i) 2, (i, 2), (i, 1, i)

Odvezivanje i BJ-Hipoteza za virtualne cvorove i linkove Beskonacan ru. BJ (1, i, 1) (i, i) = necvor

Familija virtualnih cvorova sa trivijalnim Jones-ovim polinomom (a, i, -a) (i, 1) (1, i, -1) (i, 1) (1, 1, 1, i, -1, -1) (i, 1)

Hiperbolicke zapremine Familija p q (zajednicki rad sa Lj. Radovic)

Hiperbolicke zapremine Familija Lorenz-ovih cvorova 6*-(2 p+1). (2 q). -2. 2. -2

Tamilski crtezi

Tchokwe crtezi u pesku

Keltski cvorovi

Ogledalske krive

Kvantni cvorovi Quantum knots And mosaics, Lomonaco & Kauffman, 2008

web. Mathematica: http: //math. ict. edu. yu/ n Slavik Jablan & Radmila Sazdanovic

Rezime § § Program koji se ne zasniva na bazi podataka i radi bez ogranicenja za broj preseka Izuzetno efikasno sredstvo za izracunavanje i otkrivanje svojstava ogromnih niziva cvorova i linkova Istrazivacko sredstvo za formulisanje (ili negiranje) hipoteza – eksperimentalna matematika Lin. Knot je dostupan svim korisnicima kao programski paket i web. Mathematica aplikacija za dinamicko interaktivno izracunavanje http: //math. ict. edu. yu/

Glavni rezultati (i mnostvo hipoteza): n n n n n broj odvezivosti predstavnici familija prepleta (BFRs) invertibilnost amfihiralnost Ne-detektabilnost ne-algebarski spletovi bazicni poliedri i poliedarski cvorovi i linkovi (2, 2)-potezi hiperbolicke zapremine familija

Zahvalnost: n n Louis Kauffman, Konrad Polthier i Klaus Hildebrandt Visoka skola strukovnih studija za informacione i komunikacione tehnologije (Beograd) Tom Wickham-Jones i Wolfram Research Mitsuyuki Ochiai and Noriko Imafuji (K 2 K), Dror Bar Natan, Donald Crowe, Jay Kappraff, Charles Livingston, Jozef Przytycki, Thomas Gittings, Etienne Ghys, Pierre Dehornoy, Joan Birman, Alexander Stoimenow, Alexander Shumakovitch, Jerremy Green, Naoko Kamada, Brendan Mc. Kay…