24 Affine Koordinatensysteme Nach den linearen Koordinaten mit

§ 24 Affine Koordinatensysteme Nach den linearen Koordinaten mit dem zugehörigen Koordinatenwechsel nun dasselbe für den affinen Fall. Zur Erinnerung (vgl. § 7 und § 9): (24. 1) Bemerkung: Ein affiner Raum ist gegeben durch einen Punktraum A, einen K-Vektorraum V (von Translationen) und einer Abbildung so dass für alle P, Q aus A und alle v, w aus V gilt: 1 o g(g(P, v), w) = g(P, v+w) (= g(g(P, w), v) ). 2 o Aus g(P, v) = P folgt stets v = 0. 3 o Es gibt einen eindeutig bestimmten Vektor v mit g(P, v) = Q. Der Punkt g(P, v) wird als P + v geschrieben, v in 3 o als t(P, Q). Im folgenden sei V stets endlichdimensional. Folie 1

Kapitel IV, § 24 21. 02 (24. 2) Definition: Ein affines Koordinatensystem (ein Bezugssystem) für A ist gegeben durch einen Punkt O aus A (Ursprung) zusammen mit einer geordneten Basis b = (b 1, b 2, . . . , bn) von V. Äquivalent: . . . durch O zusammen mit weiteren Punkten P 1, P 2, . . . , Pn , so dass (t(O, P 1), t(O, P 2), . . . , t(O, Pn)) eine geordnete Basis ist. Jeder Punkt P in A hat dann die eindeutige Darstellung Für eine weiteres affines Koordinatensystem, gegeben durch Q aus A und durch eine Basis d , gilt entsprechend Analog zum linearen Fall in § 23 definiert man und erhält die Koordinatentransformation zum Wechsel der affinen Koordinatensysteme. Folie 2

Kapitel IV, § 24 (24. 3) Satz: Die Transformation T ist von der Form kurz: T = B + w. Dabei ist w durch Q + w = O definiert (also w = T(0) ) und B durch (24. 4) Definition-Satz: Die affine Gruppe Affin(n, K) ist die Gruppe der Paare (B, w) (die wir in der Form T = B + w mit w aus Kn und B aus GL(n, K) schreiben) mit der folgenden Multiplikation: Für S = A + v aus Affin(n, K) ist ST : = AB + (v + Aw). Dadurch ist tatsächlich eine Gruppe definiert: Das Assoziativgesetz: (ST)R = (AB + (v + Aw))(C + x) = (AB)C + ((v + Aw) + (AB)x) = A(BC) + (v + A(w + Bx)) = (A + v)(BC + (w + Bx)) Folie 3 = S(TR)

Kapitel IV, § 24 Das neutrale Element ist E + 0 ; dabei ist E die (n, n)-Einheitsmatrix und 0 ist der Nullvektor in Kn. Die Inverse zu T = B + w ist S : = A-1 + (- A-1 w). Die Schreibweise T = B + w verdeutlicht die Wirkung von T auf Kn : Affin(n, K) ist daher als Untergruppe der Permutationsgruppe S(Kn) aufzufassen, und die Abbildungen von Kn nach Kn der Form T = B + 16. 01. 02 w aus Affin(n, K) heißen affine Transformationen. Den Begriff der affinen Transformationen zwischen affinen Räumen wollen wir im folgenden auf „affine“ Weise definieren. Dazu: (24. 5) Definition-Satz: Es seien n Punkte P 1, P 2, . . . , Pn in einem affinen Raum A (mit zugehörigem K-Vektorraum V) gegeben. Es seien außerdem n Skalare sj aus K gegeben, die sich zu 1 aufsummieren. Folie 4

Kapitel IV, § 24 definiert: Dieser Punkt heißt der (affine) Schwerpunkt der Pj mit den Gewichten sj, und er wird mit bezeichnet: (24. 6) Definition: Eine bijektive Abbildung f von A nach A heißt affine Transformation, wenn stets gilt, wenn f also die Schwerpunktbildung erhält. Die Menge der affinen Transformationen bildet wieder eine Gruppe, die affine Gruppe Affin(A). Folie 5

Kapitel IV, § 24 Im Fall des affinen Raumes A = Kn, V = Kn und g(P, v) = P + v sind die affinen Transformationen im Sinne von 24. 6 stets von der Form B + w mit B aus GL(n, K) und w aus Kn. Sei jetzt ein affines Koordinatensystem des n-dimensionalen affinen Raumes A durch O und b gegeben. Jeder Punkt P aus A hat dann die eindeutige Darstellung: Mit Die s 1, s 2, . . . , sn+1 heißen die affinen Koordinaten bezüglich des affinen Koordinatensystems (Bezugssystems) P 1, P 2, . . . , Pn, O oder auch die Schwerpunktkoordinaten. Folie 6

Kapitel IV, § 24 (24. 7) Satz: Affin(n, K) oder Affin(A) parametrisiert die affinen Koordinatensysteme. (24. 8) Hauptsatz der affinen Geometrie: A sei affiner Raum über R der Dimension > 1. Dann sind die affinen Transformationen genau die Kollineationen. Dabei ist eine Kollineation eine bijektive Abbildung f von A nach A, die Geraden in Geraden abbildet: Für jede Gerade G in A ist auch f(G) eine Gerade in A. (Ohne Beweis) (24. 9) Bemerkung: Die hier betrachteten linearen und affinen Koordinaten müssen unterschieden werden von den allgemeineren Koordinaten, die man vielfach in Mathematik und Physik verwendet. Beispielsweise Polarkoordinaten im zweidimensionalen affinen Raum A = R 2 über R : Unterschied: Die Basis verändert sich mit den Variablen! Und die Koordinaten beschreiben nicht immer den ganzen Raum! Es Folie 7 können Singularitäten auftreten!