Koordinatensysteme und Transformationen P 1 B Preim AG

Koordinatensysteme und Transformationen P 1 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

Inhalt • Koordinatensysteme – Beschreibung von Positionen (Punkten) in 2 D und 3 D – Mathematische Basis für computergraphische Algorithmen • Transformationen – Mathematische Beschreibung geometrischer Veränderungen von Objekten – Einfache arithmetische Operationen – Repräsentation durch Matrizen – 2 D und 3 D • Projektionen – Übergang von n. D nach (n-1)D – hier 3 D nach 2 D – Grundlage für Kameramodelle in der Computergraphik B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 2

Einführung Motivation: Koordinatensysteme und Transformationen für die Abbildung von 3 D-Modellen entsprechend einer Kameraposition Beispiele: – Weltkoordinaten → Kamerakoordinaten (3 D-Modelle und Kamera in einheitliches Koordinatensystem überführen) – Projektion auf die Bildebene (Kamerakoordinaten → Bildkoordinaten) • Grundlagen: Geometrie und lineare Algebra • Ausgangspunkt: Beschreibung von Objekten durch Mengen von Eckpunkten und Kanten (Polygone bzw. Polyeder) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 3

Einführung Skalare, Punkte und „Vektoren“ • Jeder Vektor (a, b, c) kann eindeutig in eine Linearkombination der Elemente der Basis des Vektorraumes zerlegt werden: – (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) – Skalare a, b und c sind die kartesischen Koordinaten des Vektors im System der Einheitsvektoren des euklidischen Koordinatensystems. – Die kartesischen Koordinaten eines Vektors sind die Projektionen dieses Vektors auf die Koordinatenachsen. • Skalare sind reelle/komplexe Zahlen. Bei Transformationen repräsentieren sie z. B. Drehwinkel und Skalierungsfaktoren. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 4

Einführung Skalare, Vektoren und Matrizen • Skalare – 0 -dimensional • Vektoren – 1 -dimensional, n Komponenten • Matrizen – 2 -dimensional, nxm Elemente Zusammenhang: • Komponenten eines Vektors bzw. Elemente einer Matrix sind Skalare. • Zeilen bzw. Spalten einer Matrix sind Vektoren. Warum Matrizen? Beschreibung von Transformationen (Trafo-Matrizen) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 5

Einführung Implementierung: Graphikbibliotheken enthalten oft vordefinierte Strukturen bzw. Klassen für Punkte, Vektoren und Matrizen. Diese enthalten Methoden zum „Rechnen“ mit Vektoren. Beispiele: • Überladen von Operatoren zur Addition, Subtraktion • Bestimmung von Kreuz- und Skalarprodukt • Bestimmung der Größe eines Vektors Open. GL: typedef GLfloat point 3[3]; point 3 vertices [8] = {{-1. 0, -1. 0}, …}; B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 6

Einführung • Vektorraum: enthält Vektoren und Skalare. In einem Vektorraum sind Operationen definiert, die Vektoren v und Skalare s verknüpfen. Multiplikation: f(v x s) → v Addition: f(v 1, v 2) → v • Affiner Raum ist ein Vektorraum, der um Punkte p erweitert wird. Punkte können subtrahiert werden. Subtraktion: f (p 1, p 2) → v • Euklidischer Raum ist ein affiner Raum, in dem skalare Werte quantifiziert werden, wobei das euklidische Abstandsmaß benutzt wird. In der CG nutzen wir vorrangig euklidische Räume. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 7

Einführung Identische Vektoren Addition von Vektoren B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 8

Koordinatensysteme z c(0, 0, 1) (a, b, c) a(1, 0, 0) x b(0, 1, 0) y Interpretation: • Ein Vektor hat keine Position. • Ausgehend von einem festen Punkt (z. B. o) definiert ein Vektor einen Punkt. • Vektor (a, b, c) kann als Punkt im Raum dargestellt werden, der dem Endpunkt eines Vektors (a, b, c) ausgehend vom Koordinatenursprung (0, 0, 0) entspricht. • Äquivalentes gilt für andersdimensionale Vektorräume n B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 9

Koordinatensysteme • Eine Menge (o, e 1, e 2, . . . , en) bestehend aus einem Punkt o An und der Basis (e 1, e 2, . . . , en) von An heißt Koordinatensystem. • Für jeden Punkt p An ist Ortsvektor von p • Komponenten von v heißen Koordinaten bezüglich (e 1, e 2, . . . , en) d. h. p besitzt die Koordinaten (x 1, x 2, . . . , xn): • Punkt o heißt Koordinatenursprung B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 10

Koordinatensysteme in der CG • zweidimensional y x • dreidimensional X- Richtung des Daumens Y- Zeigefinger Z- Mittelfinger Die beiden Koordinatensysteme sind spiegelbildlich und nicht durch Drehung ineinander zu überführen. y y x z rechtshändiges Koordinatensystem z B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme x linkshändiges Koordinatensystem 11

Koordinatensysteme und Transformationen 2. Transformationen in 2 D B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

Transformationen in 2 D • Fragestellung: – Wie werden Bewegungen beschrieben? Wie berechnet man die Position von Objekten nach Bewegungen? • Bewegungen = Transformationen – – – Veränderung der Position von Punkten Verschiebung = Translation Größenveränderungen = Skalierung Drehung = Rotation Weitere affine Transformationen: • Spiegelung • Scherung B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 13

Transformationen in 2 D: Translation x, (d dy dy ) (x‘, y‘) • Punkt (x, y) wird auf gerade Linie nach (x‘, y‘) verschoben. • Beschreibung der Translation durch einen Vektor (dx, dy), der die Verschiebungsweite in xund y-Richtung angibt (x, y) dx • Addition des Verschiebungsvektors • Noch eine Interpretation von Vektoren: Beschreiben den Weg bzw. die Linie von P 1 zu P 2 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 14

Transformationen in 2 D: Skalierung Uniforme Skalierung • Zentrum der Skalierung ist o, Skalierung erfolgt in alle Richtungen uniform mit dem skalaren Faktor a. • Ortsvektor zu (x, y) wird auf das a-fache verlängert, um (x‘, y‘) zu erhalten (x‘, y‘) (x, y) • Multiplikation mit dem Skalierungsfaktor B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 15

Transformationen in 2 D: Skalierung Nicht-uniforme Skalierung • Zentrum der Skalierung ist o, Skalierung erfolgt in x-Richtung mit dem Faktor a, in y-Richtung mit b (Skalierungsvektor (a, b)T) (x‘, y‘) (x, y) • Ortsvektor zu (x, y) wird auf das a-fache in x-Richtung und das b -fache in y-Richtung verlängert. • Multiplikation mit entsprechenden Skalierungsfaktoren B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 16

Transformationen in 2 D: Rotation • Rotationszentrum ist o. • Punkt (x, y) wird um den Winkel a um o gedreht, so dass sich der Punkt (x‘, y‘) ergibt. • Positive Werte von a ergeben eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. (x‘, y‘) (x, y) a B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 17

Transformationen in 2 D: Rotation • Herleitung der Berechnungsvorschrift: Entfernung r vom Ursprung zu (x, y) bzw. (x‘, y‘) bleibt unverändert. Nutzung von Additionstheoremen für Winkelfunktionen. y (I) (x‘, y‘) (III) (IV) r a r f r cos(a + f) (I) In (III) und (II) in (IV) einsetzen: (x, y) r cosf x B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 18

Transformationen in 2 D: Rotation • Berechnungsvorschrift • Kann als Matrix-Vektormultiplikation ausgedrückt werden: • Rotationen um negative Winkel erfolgen mit dem Uhrzeigersinn; ausnutzen: cos(-a)=cos(a) und sin(-a)=-sin(a) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 19

Transformationen in 2 D: Zwischenergebnis • • • Translation: Addition des Verschiebungsvektors Skalierung: Multiplikation des Skalierungsfaktors Rotation: Matrixmultiplikation Keine einheitliche Behandlung! Schwierig bei zusammengesetzten Transformationen! • Einheitliche Repräsentation von Transformationen gesucht → Homogene Koordinaten B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 20

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten • Ein Koordinatensystem wird in ein homogenes Koordinatensystem überführt, indem eine zusätzliche Dimension eingeführt wird: n n+1 Dimensionen. • Ein Punkt (x, y) wird in homogenen Koordinaten durch das Tripel (x·w, y·w, w) repräsentiert, mit w 0. • Normalisierte Darstellung: w = 1 (x, y, 1) • Jeder Punkt hat unendlich viele äquivalente Repräsentationen in homogenen Koordinaten. • Achtung: Homogene Koordinaten von 2 D-Punkten nicht mit „normalen“ 3 D-Koordinaten verwechseln! B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 21

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Vorteile: • Repräsentation aller Punkte in homogenen Koordinaten ermöglicht einheitliche Behandlung der Transformationen • Fragen: ? – Was steht für das Fragezeichen? – Welche Operation ist *? • Antwort: – Transformationen werden als Matrizen repräsentiert – Verknüpfung durch Multiplikation B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 22

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten • Translation – Vorher: Addition eines Vektors – Jetzt: Multiplikation mit einer Translationsmatrix • Skalierung – Vorher: komponentenweise Multiplikation mit Skalierungsfaktoren – Jetzt: Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 23

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten • Rotation – Vorher: komplexe Gleichung oder Matrixmultiplikation – Jetzt: Multiplikation mit einer Rotationsmatrix • Allgemeine 2 D-Transformationsmatrix Skalierung Rotation Translation B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 24

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Inverse Transformationen: • Frage: Wie macht man Transformationen rückgängig (was sind die inversen Transformationen)? • Für elementare Transformationen einfach: – Translation: Verschiebung um den negativen Verschiebungsvektor T-1(dx, dy) = T(-dx, -dy) – Skalierung: Skalierung mit dem reziproken Skalierungsfaktor S-1(a) = S(1/a) – Rotation: Rotation um den negativen Rotationswinkel. Da aber Rotationsmatrizen orthogonal sind, gilt R-1 = RT. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 25

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Zusammengesetzte Transformationen • Nacheinanderausführung zweier Translationen – Translation ist additiv, d. h. Ergebnis ist eine Verschiebung um die Summe beider Vektoren • Nacheinanderausführung zweier Skalierungen – Skalierung ist multiplikativ, d. h. Ergebnis ist eine Skalierung um das Produkt der beiden Faktoren. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 26

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten • Nacheinanderausführung zweier Rotationen – Rotation ist additiv. • Allgemein: Homogene Koordinaten – Ermöglichen Vereinheitlichung und Kombination aller geometrischen Transformationen • Schreibweise – Transformationen werden in der Reihenfolge T 1, T 2, . . . , Tn ausgeführt P‘=Tn·. . . ·T 2·T 1·P B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 27

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Zusammensetzen von Transformationen • Rotation eines Punktes um einen beliebigen Punkt P 1 in der Ebene • Ausführung in drei Schritten 1. Translation, so dass P 1 im Ursprung liegt 2. Rotation um den Ursprung 3. Rück-Translation von P 1 P 1 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 28

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Zusammensetzen von Transformationen • Zerlegung von komplizierten Transformationen in elementare Transformationen • Repräsentation der Gesamt-Transformation durch eine Matrix möglich B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 29

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Zusammensetzen von Transformationen: • Aber: Matrixmultiplikation ist i. a. nicht kommutativ! • Das bedeutet: Reihenfolge der Transformationen ist ausschlaggebend für das Ergebnis • also: Tn. . . T 2 T 1 P T 1 T 2. . . Tn. P T 2 Tn. . . T 1 P wenn die Ti voneinander verschiedene Transformationen sind • Allerdings in einigen Fällen besteht Kommutativität: – Nacheinanderausführung von Translationen – Nacheinanderausführung von Skalierungen – Nacheinanderausführung von Rotationen B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 30

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Weitere Transformationen: • Spiegelung – an der x-Achse – an der y-Achse – wird implementiert als Skalierung mit dem Faktor 1 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 31

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Weitere Transformationen: • Scherung – Versatz parallel zur x-Achse, proportional zur y-Position (bzw. umgekehrt) – in x-Richtung (x, y) (x‘, y‘) – in y-Richtung B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 32

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Affine Transformationen • Jede Sequenz von Rotation, Translation und Skalierung erhält die Parallelität von Linien, aber nicht Längen und Winkel. • Solche Transformationen heißen affine Transformationen. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 33

Transformationen in 2 D: Homogene Koordinaten Affine Abbildungen sind: – Geradentreu. Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade. – Parallelentreu. Parallele Geraden haben parallele Bildgeraden. – Teilverhältnistreu. Dem Teilverhältnis auf einer Geraden entspricht das Teilverhältnis auf der Bildgeraden. – Bsp: Wenn Punkt C Strecke AB im Verhältnis 1: 2 teilt, dann liegt C´auf A´B´und teilt A´B´im gleichen Verhältnis. Affine Abbildungen sind: – nicht verhältnistreu in Bezug auf Teilflächen – Bsp: Wenn ein Punkt D das Dreieck ABC in drei gleich große Dreieck ABD, ACD und BCD teilt, dann ist das Verhältnis der Flächen von A´B´D´zu A´C´D´zu B´C´D´im allgemeinen nicht 1: 1: 1. C – nicht längentreu D – nicht winkeltreu – nicht flächentreu. A B B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 34

Koordinatensysteme und Transformationen 3. Transformationen in 3 D B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

3 D Transformationen • Vorgehensweise gleich zu 2 D • Repräsentation in homogenen Koordinaten (4 D) • Transformationsmatrizen demzufolge 4 4 -Matrizen B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 36

3 D Transformationen: Matrizen • Translation – Addition eines Translationsvektors bzw. Multiplikation mit einer Translationsmatrix • Skalierung – Multiplikation mit Skalierungsfaktoren bzw. Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix uniforme Skalierung, wenn sx=sy=sz, sonst Nicht-uniforme Skalierung B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 37

3 D Transformationen: Matrizen • Rotation – Rotationen um die verschiedenen Koordinatenachsen müssen betrachtet werden. – 3 verschiedene Rotationsmatrizen (Rotation um positive Winkel in rechtshändigem Koordinatensystem) – Achse, um die gedreht wird, bleibt „Einheitsvektor“ in der Matrix B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 38

3 D Transformationen: Matrizen Warum unterschiedliche Vorzeichen bei den Winkeln (Sinus)? Gegenüber der 2 D-Herleitung, Spiegelung an der x-Achse (x, -y) (sin α = - sin (- α), cos (- α) = cos y x x z rechtshändiges Koordinatensystem z B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 39 α

3 D Transformationen: Matrizen • Überführung rechtshändiges in linkshändiges Koordinatensystem (Spiegelung) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 40

3 D Transformationen: Matrizen Zusammensetzen von Transformationen • auch über Multiplikation der Matrizen • generelle Transformationsmatrix in 3 D Skalierung Rotation Translation B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 41

3 D Transformationen: Matrizen werden in der CG benötigt für Transformationen der Szene in Kamerakoordinaten und Projektionen. Realisierung in Open. GL: In Open. GL wird die Spezifikation dieser Matrizen (4 x 4, homogene Koordinaten) unterstützt; alle Matrizen werden einheitlich gehandhabt. Der gl. Matrix. Mode spezifiziert, auf welche Matrix sich die folgenden Kommandos beziehen. gl. Load. Identity () gl. Load. Matrixf (matrix. Pointer) gl. Mult. Matrixf (matrix. Pointer) gl. Push. Matrix(), gl. Pop. Matrix() setzt Matrix auf die Einheitswerte lädt die Matrix mit dem angegebenen Feld (1 D, 16 Werte) multipliziert aktuelle Matrix mit der angegebenen Matrix auf einem Stack ablegen bzw. vom Stack holen. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 42

3 D Transformationen: Matrizen Realisierung in Open. GL: gl. Translatef (v 1, v 2, v 3) multipliziert aktuelle Matrix mit einer Translationsmatrix gl. Rotatef (ang, ref 1, ref 2, ref 3) multipliziert aktuelle Matrix mit einer Rotationsmatrix. Rotation um (ref 1; ref 2; ref 3) und den Winkel „ang“. Beispiel: gl. Push. Matrix(); // aktuelle Matrix auf dem Stack sichern gl. Matrix. Mode (GL_MODEL_VIEW); // Welche Matrix? gl. Load. Identity(); // Initialisierung gl. Translatef (4. 0, 5. 0, 3. 0); // Translation gl. Rotatef (45. 0, 1. 0, 0. 0); // Rotation um x-Achse gl. Translatef (-4. 0, -5. 0, -3. 0); // Rücktranslation gl. Pop. Matrix(); // Matrix rekonstruieren Reihenfolge: Alle Manipulationen der Matrizen sind postmultiplikativ. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 43

Koordinatentransformationen • Bisher: Transformation von Punkten in neue Punkte bei konstantem Koordinatensystem („geometrische Transformationen“) • Äquivalente Sichtweise: Wechsel des Koordinatensystems bei konstantem geometrischen Objekten („Koordinatentransformationen“) • Allgemein gilt: – Geometrische Transformationen und entsprechende Koordinatentransformationen sind invers zueinander! • Computergraphik: – Geometrische Objekte oft in lokalem „bequemem“ Koordinatensystem definiert („Objekt-Koordinatensystem“) – Koordinatentransformation in Weltkoordinaten gibt Lage des Objekts in der Szene wider. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 44

Zusammenfassung Transformationen • Geometrische Transformationen sind lineare Abbildungen vom n in den n – für uns von besonderem Interesse 2 2 und 3 3 • Für Computergraphik relevant: – – Translation Skalierung Rotation Scherung, Spiegelung • Einheitliche Behandlung der Transformationen durch Übergang zu homogenen Koordinaten und zur Darstellung der Transformationen durch Matrizen B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 45

Zusammenfassung Transformationen • Zusammengesetzte Transformationen durch Hintereinanderausführen von elementaren Transformationen, entspricht Multiplikation der Matrizen. • Transformation der Objekte oder des Koordinatensystems B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 46