2 3 Newtons Interpolation 2 3 Newtons Interpolation

§ 2. 3 牛顿插值 /* Newton’s Interpolation */

§ 2. 3牛顿插值 /* Newton’s Interpolation */ ………… Nn(x) ai = f [ x 0, …, xi ] Rn(x)

等距节点公式 /* Formula with Equal Spacing */ 当节点等距分布时: 步长 /* Step Size */ 向前差分 f i = f i +1 f i /* forward difference */ k f i = k 1 ( f i ) = k 1 f i + 1 k 1 f i 向后差分 f i = f i 1 /* backward difference */ More given on 35页 k fi = k 1 f i 1

等距节点公式 /* Formula with Equal Spacing */ 差分与均差的关系 f [ x 0 , . . . , x k ] = k f 0 k! hk 牛顿公式 牛顿前差公式 /* Newton’s forward-difference formula */ 设 ，则 N n ( x ) = N n ( x 0 + t h ) = t k f ( x 0 ) n k =0 其中 k /* binomial coefficients */

§ 2. 6 分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */ 的Ln(x)。取 例：在[ 5, 5]上考察 2. 5 Ln(x) f (x) 2 Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are n 越大， oscillating. 1. 5 1 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 0. 5 0 -0. 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 分段低次插值 2 3 4 5

分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 在每个区间 记 上，用 1阶多项式 (直线) 逼近 f (x): ，易证：当 时， 一致 失去了原函数的光滑性。 How can we make a smooth interpolation without asking 分段Hermite插值 /* Hermite piecewise polynomials */ too much from f ? 给定 Headache … 在 上利用两点的 y 及 y’ 构造 3次Hermite函数 导数一般不易得到。