10 ThreeDimensional Object Representations Contents o Bezier Curves
10 Three-Dimensional Object Representations 고려대학교 컴퓨터학과 김 창 헌
Contents o Bezier Curves and Surfaces o B-Spline Curves and Surfaces o Beta-Splines o Rational Splines o Conversion Between Spline Representations o Displaying Spline Curves and Surfaces 3 D Object Representation
Bezier Curves o Bezier Curve의 일반 표현 v. Bezier blending function(Bernstein polynomials) , v. Control point p 1 p 0 (a) p 2 3 D Object Representation p 1 p 2 p 0 (b) p 3 p 0 (c) p 2
Bezier Curves (cont’) o Bezier Curve의 특성 v 첫번째와 마지막 control point를 지난다. , v 양 끝점의 parametric 1차 derivative는 control point의 좌표로 계산한다. Q 1 Q 2 R 3 Q 3 = R 0 Q 0 R 1 R 2 – Curve의 시작 경사가 처음 2점으로 연결된 직선과 같고, Curve의 끝 경사도 마지막 2점으로 연결된 직선과 같다. 3 D Object Representation
Bezier Curves (cont’) o Bezier Curve의 특성 (계속) v control point들의 convex hull(convex polygon boundary) 안 에 놓인다. – 모든 Bezier blending function은 positive이며, 총합은 항상 1 이다. 1 0 u --> 1 Cubic Bezier의 Blending function – polynomial들은 erratic oscillation 없이 control point를 부드 럽게 지난다. 3 D Object Representation
Cubic Bezier Curves v 한 Curve section의 일반식 에서, v Blending Functions으로 다음 식을 사용한다. 1 0 v결 과 Control point의 이동 3 D Object Representation u --> 1
Bezier Curves (cont’) o Design Techniques vclosed Bezier curve p 3 v. Multiple Control points – 여러 control point들이 한 지점으로 할당됨 p 1=p 2 p 3 p 2 p 1 p 0=p 5 3 D Object Representation p 4 p 0 p 4
Bezier Curves (cont’) o Design Techniques (cont’) v. Joing Bezier curve segments – 1차 continuity를 만족시키기 위해, 새로운 조각의 2번째 control point의 위치 : – 2차 continuity를 만족시키기 위해, 새로운 조각의 3번째 control point의 위치 : p 1 p 0 p’ 0 p 2 p’ 3 p’ 1 3 D Object Representation p’ 2
Bezier Surfaces o Bezier Surface v. Bezier blending function의 Cartesian product 이용 : (m+1) by (n+1) control point들의 위치 3 D Object Representation
B-Spline Curves and Surfaces o Bezier Curve의 단점 v. Non-Localness v. Curve의 degree가 control point의 수에 의존적 o B-Spline Representation v가장 많이 사용되고 있는 approximation spline v. Control point의 수에 관계없이 Curve의 degree조 정 가능(knot vector개념 도입) vuniform, open uniform, nonuniform 으로 분류 v. Bezier spline보다 복잡하다. 3 D Object Representation
B-Spline Curves o B-Spline Curve v. Bezier와 차이점 – u의 범위는 사용자 정의의 B-spline parameter d에 의존 – local control 가능 : 각 blending function은 n+d개의 subinterval에 대해 정의됨 3 D Object Representation
Uniform B-Spline Curves o Example : n=d=3인 경우 v knot vector: subinterval의 끝점들의 집합 , n+d+1=7개의 knot value 를 가짐. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 즉, u는 0~ 6의 값을 가지며, 이 사이에 6개의 subinterval이 존재 Quadratic, periodic B-spline Periodic B-spline blending functions 3 D Object Representation
Beta-Splines o Beta-Spline( -Spline)의 정의 v. B-spline의 일반화 v 1차, 2차 parametric derivative에 geometric continuity condition을 사용 o Parameters 1: bias parameter 3 D Object Representation 2: tensor parameter
Rational Splines o Rational Spline의 정의 vrational function : 2 polynomial의 ratio v 2 spline function의 ratio : n+1개의 control point : control point의 weight factor v모든 weight factor가 1 : standard B-spline 3 D Object Representation
Rational Splines (cont’) o Rational Spline의 예 (weighting factor에 따라) v 타원 : v 직선 : 3 D Object Representation v쌍곡선 v포물선
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