Wykad 27 11 12 Efekt Dopplera 11 12

Wykład 27 11. 12 Efekt Dopplera 11. 12. 1 Znaczenie ośrodka 11. 12. 2 Efekt Dopplera w relatywistyce 11. 13 Prędkości naddźwiękowe 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 1

11. 12 Efekt Dopplera Jeżeli źródło emitujące falę oraz obserwator znajdują się względem siebie w ruchu, obserwator zaobserwuje falę o częstości zmienionej zm w stosunki do częstości emitowanej przez źródło z. Taką zmianę częstości możemy często zauważyć w ruchu ulicznym np. w czasie przejeżdżania obok nas karetki na sygnale. Dla fal dźwiękowych efekt ten został po raz pierwszy zauważony przez Christiana Dopplera 1842 r. Doppler wynajął na dwa dni pociąg towarowy i grupę trębaczy z wiedeńskiej orkiestry. Połowę muzyków umieścił w pociągu, a drugą na stacji. Obydwie grupy trąbiły w tej samej tonacji. Muzycy byli oczywiście w stanie określić wysokość słyszanego dźwięku. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 2

Przy obliczeniach różnicy częstości musimy rozróżnić następujące przypadki; ruch obserwatora, ruch źródła fal, oraz równoczesny ruch źródła i obserwatora. Ruch oznacza tu w każdym przypadku ruch względem ośrodka w którym rozchodzi się fala. Przyjmijmy następujące oznaczenia, u -- prędkość rozchodzenia się fali vzr -- prędkość źródła, vob -- prędkość obserwatora, f 0 -- częstość fali emitowanej przez źródło, fob -- częstość fali odbieranej przez obserwatora 0 -- długość fali wysyłanej przez źródło ob -- długość fali obserwowanej 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa Użyjmy dla częstości oznaczenia f dla lepszego odróżnienia od prędkości v 3

Rozważmy kilka przypadków: I. vzr = 0, vob 0 Fale będą dochodziły do obserwatora z prędkością równą vob sumie prędkości obserwatora i prędkości fali. Czas pomiędzy dwoma kolejnymi wierzchołkami fal który zmierzy obserwator będzie równy; . 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 4

Częstość fali , którą odbiera obserwator wynosi więc; . (11. 34) Wykorzystaliśmy tutaj zależność, że 0 =u/f 0. Obserwatora, który oddala się od źródła zaobserwuje częstość; . (11. 35) II. vob = 0, vzr < 0, vzr > 0 W tym przypadku obserwator spoczywa, a źródło fal przybliża się do, lub oddala się od obserwatora. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 5

0 vzr u ob O vzr Tzr Źródło porusza się z prędkością vzr , emituje falę pierwotną o częstości f 0 , która porusza się z prędkością u. Dwa wierzchołki fali są generowane w odstępie czasowym T 0=1/ f 0. W międzyczasie źródło przebywa drogę T 0 vzr. Odległość pomiędzy dwoma wierzchołkami będzie więc. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 6

Czas pomiędzy dwoma wierzchołkami fali docierającymi do obserwatora będzie więc różnił się o . Otrzymamy więc na częstość odbieraną przez obserwatora wyrażenie; . (11. 36) - ruch w stronę obserwatora + ruch od obserwatora 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 7

III. vob 0, vzr 0 W tym przypadku mamy do czynienia z czterema możliwościami. Załóżmy, że zarówno źródło fali, jak i obserwator poruszają się w tum samym kierunku. vzr vob Możemy znaleźć częstość fal odbieranych przez obserwatora bazując na dwóch już znanych przypadkach. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 8

Wskutek ruchu źródła długość emitowanej przez nie fali zmienia się. Częstość fali widziana przez oddalającego się obserwatora wynosi (patrz I); . długość zmieniona przez ruch źródła Otrzymamy więc; . Na obserwowaną w tym przypadku częstość otrzymujemy; 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 9

. (11. 37) Poniższa tabela pokazuje wszystkie cztery możliwości. źródło 16 -01 -2009 obserwator Reinhard Kulessa 10

IV. Ruch pod kątem Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których źródło fal i obserwator poruszali się względem siebie po jednej prostej. Tak jednak nie zawsze musi być. vzr zr ob vob W takim przypadku bierzemy składowe równoległe prędkości do kierunku łączącego źródło z obserwatorem. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 11

. (11. 38) 11. 12. 1 Znaczenie ośrodka Stwierdziliśmy w rozważanych przypadkach, że dla efektu Dopplera istotne jest, czy porusza się źródło fal, czy obserwator. Pamiętamy, że fale np. ; głosowe rozchodzą się w powietrzu. Powietrze to jest dla nas wzorcem względem którego wyznaczamy prędkość źródła i obserwatora. Jeżeli wieje wiatr, musimy to uwzględnić w naszych rozważaniach. Rozważmy przypadek ruchomego obserwatora i stałego wiatru. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 12

Wiatr vw vob obserwator źródło Na częstość fali którą zarejestruje obserwator uzyskamy wartość; . 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa (11. 39) 13

11. 12. 2 Efekt Dopplera w relatywistyce Wiemy, że dla fal elektromagnetycznych wzory (11. 34), (11. 35) i (11. 36) nie mogą być zastosowane. Dla fal elektromagnetycznych nie istnieje ośrodek w którym rozprzestrzenia się fala (brak „eteru”). Wobec tego przypadki ruchomego źródła i ruchomego obserwatora są nierozróżnialne. Wymienione równania muszą zostać zastąpione przez wyrażenie, w którym wystąpi jedynie względna prędkość pomiędzy źródłem a obserwatorem. Rozpatrzmy następujący przykład. Mamy źródło promieniowania elektromagnetycznego np. nadajnik radarowy, który spoczywa w początku układu współrzędnych U. Obserwator oddala się wzdłuż osi x z prędkością v od tego źródła. Źródło, wysyła impulsy w regularnych odstępach czasowych , które biegną z prędkością światła c. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 14

t x = c(t - ) (x 2, t 2) Źródło w czasie t 2 s ul p Im x=c · t t= (x 1, t 1) s 1 l pu Obserwator ruchomy Im x = x 0 + v · t O x x 0 Obserwator spoczywający w układzie U zaobserwuje impulsy radarowe w odstępach czasowych . Jaką częstość obserwuje poruszający się obserwator? 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 15

Otóż; A) Różnica czasu pomiędzy obserwacją dwóch impulsów przez obserwatora w układzie U jest równa t 2 – t 1. Z matematycznych warunków na punkty przecięcia (x 1, t 1) i (x 2, t 2) mamy; . Z równań tych otrzymujemy; . 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 16

B. Tę samą różnicę czasową obserwator w układzie ruchomym U’ zmierzy jako; . Po wstawieniu wyliczonych powyżej wartości, otrzymujemy; . 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 17

Po krótkich przekształceniach otrzymujemy. Częstość, z którą ruchomy obserwator odbiera sygnały jest równa; , czyli. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa (11. 40) 18

Rozważaliśmy szczególny przypadek efektu Dopplera, kiedy obserwator odbiera falę ze źródła oddalającego się od niego wzdłuż osi x. W ogólnym przypadku fala świetlna o częstości drgań ’ wysłana ze źródła O’ spoczywającego w układzie U’, który porusza się z prędkością v względem układu U wzdłuż osi Ox, może docierać do obserwatora O spoczywającego (w punkcie P) w układzie U pod kątem względem kierunku ruchu źródła O’. y’ y P v O O’ Obserwator w punkcie P zmierzy następującą częstość ’ fali świetlnej; x . x’ Prześledźmy krótko własności relatywistycznego przesunięcia dopplerowskiego. 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 19

1. 2. 3. Dla = 00 źródło i obserwator zbliżają się do siebie. Częstość obserwowanej fali ulega przesunięciu ku fioletowi. Dla = źródło i obserwator oddalają się od siebie. Mamy wtedy do czynienia z przesunięciem ku czerwieni. Dla kątów = /2, 3 /2 mamy do czynienia z poprzecznym relatywistycznym efektem Dopplera. Nie ma on odpowiednika w mechanice klasycznej. . Przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk definiujemy jako; . Zależność pomiędzy prędkością galaktyk v a ich odległością r jest następująca; , gdzie H jest stałą Hubble’a i H (75 km/s)/Mpc, 1 Mpc = 3. 086· 1022 m. Wiadomo 16 -01 -2009 również, że Reinhard Kulessa . 20

11. 13 Prędkości naddźwiękowe Powróćmy do rozchodzenia się dźwięku i zastanówmy się co dzieje się gdy prędkość źródła dźwięku vzr jest równa prędkości dźwięku u. Powstaje wtedy fala uderzeniowa. Następuje kumulacja energii na czole fali. Natężenie rośnie do . Czoło fali Przykład ---- lecący pocisk o prędkości vzr= 1. 01 u. vzr 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 21

F/A Hornet przekraczający Barierę dźwięku 16 -01 -2009 Reinhard Kulessa 22

Kiedy obiekt emitujący dźwięk ma prędkość większą od prędkości rozchodzenia się dźwięku, płaskie czoło fali uderzeniowej zmienia się w stożek. Również energia koncentruje się na powierzchni Stożka. Połowa kąta rozwarcia stożka jest dana przez; . vzr M jest nazwane liczbą Macha. vzr T Świetlne fale uderzeniowe również istnieją w ośrodkach o współczynniku załamania n >1 co zmniejsza prędkość światła w stosunku do tej w próżni. Powstające świetlne fale uderzeniowe nazywamy 16 -01 -2009 promieniowaniem Cerenkova. Reinhard Kulessa 23