VECTORES EN EL ESPACIO U D 9 2

VECTORES EN EL ESPACIO U. D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 1

COMBINACIÓN LINEAL U. D. 9. 3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 2

COMBINACIONES LINEALES • Un vector v del espacio vectorial V 3 es combinación lineal de los vectores v 1, v 2, … , vn de V 3 si puede expresarse de la forma: v = α. v 1 + β. v 2 + λ. v 3 + … + μ. vn , con α, β, λ, …, μ є R • PROPIEDADES • • Cualquier vector v є V 3 es combinación lineal de si mismo. v = 1. v , con 1 є R • El vector nulo 0 є V 3 es combinación lineal de cualquier vector v y de su opuesto, v. 0 = λ. v + λ. (-v) , para Vλ є R • • El vector nulo 0 є V 3 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores v 1, v 2 , v 3 , … vn , de V 3. 0 = 0. v 1 + 0. v 2 + 0. v 3 + … + 0. vn , con 0 є R @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 3

Ejemplos • • • EJEMPLO 1 Sea el vector w=( 0, 13, 6) y los vectores u=(1, 2, 3) y v=( 4, 5, 6). ¿Es w combinación lineal de u y v? . • Solución • • • w=λ. u+μ. v (0, 13, 6)= λ. (1, 2, 3)+μ. ( 4, 5, 6) (0, 13, 6)= (λ. 1, λ. 2, λ. 3)+(μ. ( 4), μ. 5, μ. ( 6)) • • • 0 = λ. 1 – 4 μ 13 = λ. 2 + μ. 5 6 = λ. 3 – 6. μ Resolviendo el sistema: λ = 4 , μ = 1 Para dichos valores de los escalares λ y μ, el vector w es combinación lineal de u y v. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 4

Ejemplos • • • EJEMPLO 2 Sea el vector w=( 0, 1, 3) y los vectores u=(1, 0, 0) y v=(0, 1, 0). ¿Es w combinación lineal de u y v? . • Solución • • • w=λ. u+μ. v (0, 1, 3)= λ. (1, 0, 0)+μ. (0, 1, 0) (0, 1, 3)= (λ. 1, λ. 0)+(μ. 0, μ. 1, μ. 0) • • • 0 = λ. 1 1 = μ. 1 3=0 Resolviendo el sistema: λ = 0 , μ = 1 Pero no existe ningún par de valores λ y μ, que haga 3 = 0, luego el vector w no es combinación lineal de u y v. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 5

SISTEMA GENERADOR • • • Dado un espacio vectorial siempre es posible encontrar una serie de vectores a partir de la cual, mediante combinaciones lineales, podemos obtener cualquier vector perteneciente a dicho espacio vectorial. Un conjunto S=(v 1, v 2, …. vn) de vectores de un espacio vectorial V 3, es un sistema generador de dicho espacio si cualquier vector v del mismo se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S. v = α. v 1 + β. v 2 + λ. v 3 + … + μ. vn , con α, β, λ, …, μ є R EJEMPLOS v = (2, 3, – 4 )= 2. (1, 0 , 0) + 3. (0, 1, 0) + (– 4). (0, 0, 1) v = (2, 3, – 4 )= 1. (1, 1 , 1) + 3. (0, 1, – 2) + 1. (1, – 1 , 1) v = (2, 3, – 4 )= 2. (1, 2 , 3) + (– 2). (3, 2, 1) + 1. (6, 3, – 8) Como vemos un mismo vector puede expresarse como combinación lineal de otros vectores de muchas formas diferentes. En nuestro ejemplo cada tría (v 1 , v 2 , v 3) de diferentes vectores es un sistema generador del vector v, lo que llamaremos BASE. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 6

DEPENDENCIA LINEAL • • • Se dice que n vectores, v 1, v 2, …. vn , de un espacio vectorial V, son linealmente dependientes cuando alguno de ellos es combinación lineal de los demás. Al conjunto S=(v 1, v 2, …. vn) formado por dichos vectores se le denomina conjunto ligado o linealmente dependiente. Asimismo un conjunto S=(v 1, v 2, …. vn) de vectores es libre o linealmente independiente cuando ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. • EJEMPLO • • v 1= (1, 2, 3), v 2 = (4, 5, 6), v 3 = (5, 7, 9) El conjunto S=(v 1, v 2, v 3) es un conjunto ligado o linealmente dependiente, pues v 3 = v 1 + v 2 El tercer vector es combinación lineal de los dos primeros. También se dice que depende linealmente de los dos primeros. v 3 = α. v 1 + β. v 2 , con α=1, β=1 / α, β є R • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 7

INDEPENDENCIA LINEAL • DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL • • Sean u y v dos vectores de R 3 y α, ß R. El vector w = α u+ß v se dice que es una combinación lineal de los vectores u y v. También se suele decir que depende linealmente de u y v. EJEMPLO: (3, 16, 5) = 2 (3, 5, 1) + 3 ( 1, 2, 1) • • • Dos vectores u, v R 3 son linealmente dependientes si existen dos escalares α, ß R, al menos uno de ellos no nulo, tales que α u+ß v=0. EJEMPLO: (3, 2, 1) y (6, 4, 2) son lin. dependientes, pues existen α=2 y ß= 1 tales que: 2 (3, 2, 1)+( 1) (6, 4, 2)=(0, 0 , 0). Los vectores u y v son linealmente independientes cuando α u+ß v=w implica que α=0 y ß=0. EJEMPLO: (4, 3, 0) y (1, 2, 5) son linealmente independientes pues de α(4, 3, 0)+ß(1, 2, 5) = (4α, 3α, 0)+(ß, 2ß, 5ß) = (4α+ß, 3α+2ß, 5ß) = (0, 0, 0) α=0 y ß=0. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 8

• • • EJEMPLO 1 v 1= (1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1) Miramos si son linealmente independientes: λ 1. v 1 + λ 2. v 2 + λ 3. v 3 = 0 λ 1. (1, 0, 0) + λ 2. (0, 1, 0) + λ 3. (0, 0, 1) = 0 (λ 1, 0, 0) + (0, λ 2, 0) + (0, 0, λ 3) = 0 (λ 1, λ 2, λ 3) = 0 (λ 1, λ 2, λ 3) = (0, 0, 0) λ 1 = 0, λ 2 = 0 , λ 3 = 0 Vemos que todos los coeficientes escalares son ceros. Luego el conjunto S=(v 1, v 2, v 3) es un conjunto linealmente independiente. • • EJEMPLO 2 v 1= (1, 2, 3), v 2 = (4, 5, 6), v 3 = (2, 4, 6) Miramos si son linealmente dependientes: λ 1. v 1 + λ 2. v 2 + λ 3. v 3 = 0 Vemos que: 2. v 1 + 0. v 2 + ( 1). v 4 = 0 Para λ 1 = 2, λ 2=0, y λ 3 = (-1) Luego el conjunto S=(v 1, v 2, v 3) es un conjunto ligado o linealmente dependiente, al no ser todos los coeficientes ceros. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 9