V FUNDAMENTOS MATEMTICOS Lgica de Primeira Ordem Ou

↔ → ┐ () ∀ ∃ V ^ FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Lógica de Primeira Ordem Ou Lógica de Predicados

SUMÁRIO ØORIGEM ØSINTAXE E E SEM NTICA ØALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM ØREGRAS DE FORMAÇÃO ØAXIOMAS ØQUANTIFICADORES ØCÁLCULO DE PREDICADOS

ORIGEM �Historicamente, lógica surgiu com o filósofo grego Aristóteles (384 -322 A. C. )

Lógica Proposicional x Lógica de Primeira Ordem

SINTAXE e SEM NTICA

ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM • Constantes: Rei. Joao, 2, . . . • Predicados: Irmaos, >, . . . • Funções: Raiz, Perna. Esquerda. De, . . . • Variáveis: x, y, a, b, . . . • Conectivas: ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔ • Igualdade : = • Quantificadores: ∀, ∃

Explicação: Modelo (LPO) � Constantes: Ricardo. Coracao. Leao, Rei. Joao, Perna. Esq. De. Ricardo. Coracao. Leao, Perna. Esq. De. Rei. Joao, Coroa; � Predicados: �Aridade=2; � Irmãos: (Ricardo. Coracao. Leao, Rei. Joao), (Rei. Joao, Ricardo. Coracao. Leao); � Na. Cabeca: (Coroa, Rei. Joao); �Aridade=1 (propriedades); � Pessoa: (Ricardo. Coracao. Leao), (Rei. Joao); � Rei: (Rei. Joao); � ECoroa: (Coroa); Na matemática a aridade de uma função ou operação é o número de argumentos ou operandos tomados.

Explicação: Modelo (LPO) �Funções: �Perna. Esq. De: (Ricardo. Coracao. Leao, Perna. Esq. De. Ricardo. Coracao. Leao), (Rei. Joao, Perna. Esq. De. Rei. Joao), (Perna. Esq. De. Ricardo. Coracao. Leao, INV), (Perna. Esq. De. Rei. Joao, INV), (Coroa, INV); INV é uma perna “invisível”! Funções em LPO são totais, e estão definidas para todos os objetos:

QUANTIFICADORES �Quantificador Universal (∀): “Para todo. . . ” ∀x P, onde P é qualquer expressão lógica. Exemplo: ∀x Rei(x) ⇒ Pessoa(x) �Quantificador Existencial (∃): “Para algum. . . ” ∃x P Exemplo: ∃x Rei(x)

ALGUMAS REGRAS DE FORMAÇÃO �Qualquer constante é um termo (variáveis livres). �Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é ela mesma). �Toda expressão f (t 1, …, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti.

AXIOMAS �Os axiomas considerados aqui são os axiomas lógicos que fazem parte do cálculo de predicados. Além disso, os axiomas não-lógicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração.

�Três dos axiomas lógicos que caracterizam a lógica de primeira ordem: �(A 1) �(A 2) �(A 3) � (A 4)

CÁLCULO DE PREDICADOS �O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicional que define quais sentenças da lógica de primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teorias matemáticas.

Exercícios 1 �Todos os As são Bs: �Nenhum A é B: �Alguns As são Bs: �Alguns As não são Bs: �Somente os As são Bs: �Nem todos os As são Bs �Todos os As não são Bs

Exercícios 1 : Respostas �Todos os As são Bs: ∀x A(x) ⇒ B(x) �Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x) �Alguns As são Bs: ∃x A(x) ∧ B(x) �Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x) �Somente os As são Bs: ∀x B(x) ⇒ A(x) �Nem todos os As são Bs �– Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x) �Todos os As não são Bs �– Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x)

Exercícios 2 �Todas as pessoas gostam de outra pessoa �Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam �O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode frequentar as duas) �O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das duas) �A Ana tem no máximo uma irmã �A Ana tem exatamente uma irmã �A Ana tem pelo menos duas irmãs

Exercícios 2: Respostas �Todas as pessoas gostam de outra pessoa �– ∀x Pessoa(x) ⇒ ∃y Pessoa(y) ∧ Gosta(x, y) ∧ ¬(x=y) �Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam �– ∃x Pessoa(x) ∧ ∀y Pessoa(y) ∧ ¬(x=y) ⇒ Gosta(y, x) �O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode frequentar as duas) �– Frequenta(João, IA) ∨ Frequenta(João, PE) �O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das duas) �– Frequenta(Rui, IA) ⇔ ¬Frequenta(Rui, PE)

COMPONENTES �JUCIELE SACRAMENTO FREITAS �VÍVIAN MARIA NUNES DOS SANTOS �JHONE SESTO DAMICO