Scuola di Specializzazione allInsegnamento Secondario Tirocinio assistito I

Scuola di Specializzazione all'Insegnamento Secondario Tirocinio assistito - I anno Modelli di insegnamento di matematica Ore 15. 00 – 15. 45 Introduzione al calcolo delle probabilità (1) Ore 15. 45 – 16. 00 Lavoro di gruppo: scheda 1 (analisi della prima lezione) Ore 16. 00 – 17. 15 Introduzione al calcolo delle probabilità (2)

Scuola di Specializzazione all'Insegnamento Secondario Tirocinio assistito - I anno Modelli di insegnamento di matematica Ore 17. 15 – 17. 30 Intervallo Ore 17. 30– 18. 00 Lavoro di gruppo: scheda 1 (analisi della seconda lezione) + scheda 2 (confronto tra le due lezioni) Ore 18. 00 – 19. 00 Discussione conclusiva

Introduzione al calcolo delle probabilità • • • Contesto Cenni storici Definizione classica Calcolo combinatorio Definizione frequentista Definizione soggettiva

Contesto • I biennio qualsiasi tipo di scuola – 10 ore – Esercizi più semplici • II biennio qualsiasi tipo di scuola – 15 ore – Approfondimenti

Oggetto • Matematica dell’incertezza: affrontare con gli strumenti della matematica situazioni in cui le informazioni non sono sufficienti per garantire certezze. • Il rischio è una componente ineliminabile • Come operare scelte in condizioni di incertezza? • Valutazione probabilistica

Cenni storici • Per millenni “valutazione a occhio” • Importanza dei giochi: - dall’astragalo ai dadi - le carte dal 1350 • Solo dal XVII secolo considerazioni di tipo quantitativo: osservare regolarità, registrare frequenze, …. • 1654: Antoine Gombaud (Cavalier de Méré) si rivolge a Pascal e Fermat è più probabile ottenere almeno un 6 lanciando 4 volte un dado o ottenere almeno un 12 lanciando 24 volte due dadi?

Definizione classica • Lancio di una moneta: T o C 50% • E’ implicita la definizione di probabilità classica La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili • Semplici esempi (dado, roulette, carte) • Questione dei “ritardi” (gioco del Lotto)

Definizione classica e insidie • Non chiarisce che i casi possibili devono avere “ugual peso” (esempio del lancio di 2 monete; si sbagliava anche D’Alembert!) • Allora la definizione diventa: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purchè questi siano equiprobabili • Presuppone una situazione “di laboratorio”, poco adatta alla vita reale

Alcune osservazioni • • • Evento certo e evento impossibile Eventi complementari Probabilità contraria p(A) = 1 A evento certo p(A) = 0 A evento impossibile

Soluzione di esercizi Il problema di Gombaud L’evento A 1 = “esce almeno un 6 lanciando quattro volte un dado” è il complementare dell’evento B 1 =“ non esce nessun 6 lanciando quattro volte un dado” La probabilità di quest’ultimo evento è P(B 1) = (5/6)4 0, 4823 e dunque P(A 1)= 1 - (5/6)4 0, 5177 L’evento A 2 = “esce almeno un doppio 6 lanciando ventiquattro volte due dadi” è il complementare dell’evento B 2 = “non esce mai un doppio 6 lanciando ventiquattro volte due dadi” si ha P(B 2) = (35/36)24 0, 5086 e dunque P(A 2)= 1 - (35/36)24 0, 4914

Calcolo combinatorio 1 Necessario per determinare i casi possibili quando si ha a che fare con “numeri grandi” Permutazioni (in che ordine) esempio 1: possibili ordini di arrivo di una gara con 10 atleti esempio 2: in quanti giorni gli studenti di una classe esauriscono tutti i possibili ordinamenti nell’uscire in fila dall’aula? Pn = n! = n(n-1)(n-2)…. 3· 2 · 1

Calcolo combinatorio 2 Disposizioni semplici (chi e in che ordine) Esempio 1: 8 atleti corrono i 100 m piani, quanti sono i possibili podi? D 8, 3 = 8· 7· 6 = 336 Disposizioni con ripetizione Caso semplice del Totocalcio Introduzione dei diagrammi ad albero

Calcolo combinatorio 3 Combinazioni (ordine irrilevante, solo ‘chi’) Esempio 1: come occupano le ultime stanze libere di un albergo 5 turisti in un gruppo di 13? Possibili scelte di 5 oggetti su 13: come le disposizioni? No, perché l’ordine non conta!

Definizione frequentista La probabilità di un evento è data dal numero di esperimenti favorevoli sul numero complessivo degli esperimenti Definizione classica valutazione a priori Definizione frequentista stima a posteriori Esempio: Se negli ultimi 30 anni a Milano è nevicato 18 volte, la probabilità è 3/5.

Definizione frequentista e insidie • Quante prove effettuare? • La probabilità dipende dal numero di esperimenti considerati, più tale numero è grande, più è affidabile la valutazione di probabilità • Per uno stesso evento, 2 definizioni diverse Esempio: la probabilità che un nascituro sia maschio o femmina

Definizione soggettiva Probabilità come aspettativa soggettiva che si nutre rispetto al realizzarsi dell’evento; la valutazione dipende dalla singola persona che la effettua. Soggettivo non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle conoscenze del soggetto. La probabilità soggettiva di un evento A è il prezzo p che chi scommette è disposto a pagare per ricevere 1 nel caso in cui si verifichi l’evento. Naturalmente il soggetto deve esprimere la sua valutazione simmetricamente, cioè deve essere disposto a mantenerla in caso di scambio di ruoli (gioco equo). Esempio: Totocalcio