Quadratura de GaussLegendre Integrao Numrica A idia da

Quadratura de Gauss-Legendre Integração Numérica

� � A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2 n - 1. Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados. Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva. Graficamente: C . a . D . . A b B

considerando dois pontos (n=2), o trabalho é determinar uma fórmula do tipo: � Então, � De modo que ela seja exata para polinômios de grau ≤ 3. � Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1, 1], representando em:

� Dizer que a fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para � Assim: I II IV

� Podemos reunir I, III e IV em um sistema não linear de ordem 4: � Cuja solução é:

generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t: � Para x (1, b) b (-1, a) -1 a 1 t relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que: � Para

relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que: � Para � De modo que: � Assim:

� Exemplo: Calcular usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.

� Exemplo: Calcular usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.

� Fórmula Geral n i 1 ti 0 Ai 1 2 2; 1 ± 0, 5774 1 3 2 3; 1 0 ± 0, 7746 0, 888 0, 555 4 3; 2 4; 1 ± 0, 3400 ± 0, 8611 0, 652 0, 348 5 3 4; 2 5; 1 0 ± 0, 538 ± 0, 906 0, 568 0, 478 0, 237 6 4; 3 5; 2 6; 1 ± 0, 239 ± 0, 661 ± 0, 932 0, 468 0, 361 0, 171 2