Pravilni mnogokuti Crtanje i konstrukcija pravilnih mnogokuta Pravilni

Pravilni mnogokuti • Crtanje i konstrukcija pravilnih mnogokuta

Pravilni mnogokuti Koje mnogokute uočavaš na ovoj slici? Kakve im sve pravilnosti uočavaš? Među svim mnogokutima svojim se skladom posebno ističu pravilni mnogokuti. Kako bismo definirali pravilan četverokut? To bi trebao biti kvadrat. Je li to četverokut s jednakim duljinama stranica? Ne, to nije dovoljno, jer takav je i romb. Je li to četverokut s jednakim unutarnjim kutovima? Ne, jer takav je i pravokutnik. Moramo zahtijevati da ima i jednake duljine stranica i jednake veličine kutova. Ponekad se izgovara jednostavnije (iako neprecizno), da su im jednake stranice i jednaki kutovi.

Pravilni mnogokuti Pravilan mnogokut jest konveksni mnogokut kojemu su sve stranice jednakih duljina i svi kutovi jednakih veličina. Koliki je unutarnji, a koliki vanjski kut pravilnog peterokuta? Znamo da je zbroj veličina svih unutarnjih kutova peterokuta K 5 = (5 – 2) ∙ 180° = 540°. Kako su u pravilnom peterokutu svi kutovi jednakih veličina, tako je svaki od njih jednak Znamo i da je zbroj veličina vanjskih kutova uvijek 360°, pa je u pravilnom peterokutu svaki od njih veličine Vidimo da je zbroj veličina unutarnjeg i vanjskog kuta 180° što i mora biti jer su oni susjedni kutovi (sukuti).

Pravilni mnogokuti Veličinu unutarnjeg kuta pravilnog n-terokuta računamo prema formuli Veličinu vanjskog kuta pravilnog n-terokuta računamo prema formuli Postoji li točka koja je jednako udaljena od svih stranica i svih vrhova šesterokuta? Za pravilan šesterokut takva točka postoji.

Pravilni mnogokuti Pravilan mnogokut ima centar simetrije, točku koja je jednako udaljena od svih stranica i svih vrhova mnogokuta pa je i središte mnogokutu upisane i mnogokutu opisane kružnice. Nacrtajmo centar simetrije te opišimo i upišimo kružnicu pravilnom peterokutu. Kako centar mora biti jednako udaljen od svih vrhova peterokuta, tako on sa susjednim vrhovima čini jednakokračni trokut. Zbog simetrije svi takvi trokuti moraju biti sukladni. To znači da im je kut uz osnovicu jednak polovici unutarnjeg kuta, a kut između krakova petini punog kuta. Tako je Središte možemo naći kao presjecište simetrala unutarnjih kutova ili kao presjecište simetrala stranica. Uzevši u otvor šestara r – duljina polumjera upisane kružnice udaljenost do vrha, odnosno R – duljina polumjera opisane kružnice do stranice, možemo nacrtati opisanu i upisanu kružnicu.

Pravilni mnogokuti Centar simetrije pravilnog n terokuta sa susjednim vrhovima tvori n sukladnih jednakokračnih trokuta, koje nazivamo karakterističnim trokutima pravilnog mnogokuta. Kutovi uz osnovicu takvog trokuta upola su manji od unutarnjeg kuta mnogokuta, a kut određen krakovima n-ti je dio punog kuta i nazivamo ga središnjim kutom pravilnog mnogokuta. Krak trokuta jest polumjer mnogokutu opisane kružnice, a visina trokuta polumjer je mnogokutu upisane kružnice.

Pravilni mnogokuti Crtanje i konstrukcija pravilnih mnogokuta Crtanje i konstrukcija pravilnog mnogokuta svode se na crtanje i konstrukciju njegova karakterističnog trokuta. Podsjeti se, pri konstrukciji možeš koristiti samo ravnalo i šestar. Nacrtajmo pravilan peterokut koji je upisan kružnici polumjera duljine R = 2. 5 cm. Središnji kut pravilnog peterokuta veličine je α 5 = 360° : 5 = 72°. Konstruiramo kružnicu polumjera duljine 2. 5 cm. U središtu kružnice, pomoću kutomjera, nacrtamo kut veličine 72°. Njegovi kraci sijeku kružnicu u dvjema točkama A 1 i A 2 kojima je određena stranica peterokuta. Uzmemo u šestar duljinu te stranice i iz npr. točke A 2 prenosimo po kružnici. Spojimo dužinama točke A 2 i A 3, A 3 i A 4, A 4 i A 5 te A 5 i A 1. Tako smo dobili pravilni peterokut.

Pravilni mnogokuti Konstruirajmo pravilan šesterokut stranice duljine a = 2 cm. Središnji mu je kut veličine 60°, pa su mu i svi kutovi karakterističnog trokuta veličine 60°. Dakle, to je jednakostranični trokut. To znači i da mu je radijus opisane kružnice 2 cm. Zato je konstrukcija jednostavna. Nacrtamo kružnicu radijusa 2 cm i taj isti otvor šestara prenesemo 6 puta po kružnici i tako odredimo vrhove šesterokuta.