MOTO DEI FLUIDI EQUAZIONE DI CONTINUIT Immaginiamo un

MOTO DEI FLUIDI: EQUAZIONE DI CONTINUITÀ Immaginiamo un volume di controllo costituito da un condotto più o meno cilindrico nel quale scorre una corrente di fluido. Supponiamo che il flusso sia regolare e proceda per traiettorie più o meno parallele. z Supponiamo inoltre che le grandezze non cambino molto in direzione perpendicolare alla direzione di moto prevalente, corrispondente all’asse del condotto, e che quindi tutte le grandezze di interesse siano funzioni della sola coordinata spaziale eventualmente del tempo. z ed 1

MOTO DEI FLUIDI: EQUAZIONE DI CONTINUITÀ In queste ipotesi il moto della corrente di fluido sarà descritto da una grandezza scalare v detta velocità del fluido, eventualmente funzione di z, dato che gli attributi vettoriali della velocità possono ridursi al solo segno, positivo se il moto avviene nel verso concorde con quello dell’asse z. z z z+dz Si può fare il bilancio di una qualunque grandezza conservata, ad esempio la massa. Si consideri un elemento del condotto delimitato dalla sezione trasversale in corrispondenza dell’ascissa z, dalle pareti del condotto per una lunghezza dz, e dalla sezione trasversale al condotto in corrispondenza dell’ascissa z+dz. 2

MOTO DEI FLUIDI: EQUAZIONE DI CONTINUITÀ Chiamiamo A l’area della sezione trasversale del condotto, che sarà eventualmente funzione di z. Sia la densità di massa del fluido, eventualmente funzione di z. z z z+dz = 0 (la massa si conserva!) BILANCIO DI MASSA ingresso del fluido nel volume di controllo uscita = del fluido dal volume di controllo accumulo scomparsa nel + volume di controllo + del fluido nel volume di controllo 3

MOTO DEI FLUIDI: EQUAZIONE DI CONTINUITÀ v(z) t A(z) z z z+dz ingresso del fluido nel volume di controllo = (densità del fluido) (volume di fluido che entra nel tempo t) = 4

MOTO DEI FLUIDI: EQUAZIONE DI CONTINUITÀ v(z+dz) t A(z+dz) z z z+dz uscita del fluido dal volume di controllo = (densità del fluido) (volume di fluido che esce nel tempo t) = 5

MOTO DEI FLUIDI: EQUAZIONE DI CONTINUITÀ Consideriamo ora il sistema stazionario: = 0 (la massa si conserva!) BILANCIO DI MASSA ingresso del fluido nel volume di controllo uscita = del fluido dal volume di controllo = 0 (stato stazionario) accumulo scomparsa nel + volume di controllo + del fluido nel volume di controllo Poiché il sistema è stazionario, la scelta del valore per t è arbitraria. Quindi l’equazione di continuità per un sistema monodimensionale stazionario si riduce a: Si noti che ciascuna delle tre variabili può variare con z , ma facendo in modo che il prodotto delle tre rimanga costante. 6

MOTO DEI FLUIDI: EQUAZIONE DI CONTINUITÀ Casi particolari: -Moto incomprimibile ( = cost ): in questo caso v. A = 1 cost. Esempio: scorrimento di liquido in un imbuto, dove la velocità di uscita dal becco è molto più grande della velocità di abbassamento del pelo libero, e precisamente nel rapporto inverso delle aree delle sezioni di attraversamento. - Moto incomprimibile ( = cost v. A = cost ) e condotto a sezione costante 2 (A = cost): di conseguenza, v = cost (flusso a pistone). 7