Mapa Logstico Tiago A Almeida Walter Furloni DTFEECUNICAMP

Mapa Logístico Tiago A. Almeida Walter Furloni DT-FEEC-UNICAMP

Introdução l l l 1845 – Verhulst introduziu um modelo populacional discreto para uma espécie mantida em uma área fechada; xn assume valores entre 0 e 1; Um dos sistemas mais analisados e discutidos dentro da área de caos;

1º Modelo Malthusiano de População l l Para µ < 1: redução contínua da população; Para µ > 1: crescimento exponencial da desenfreado; Necessidade: levar em conta limitações de recursos e de espaço; Solução: introdução do termo (1 -xn) que conduz a uma diminuição da população para valores altos da mesma, o que contemplaria uma possível luta por recursos escassos, doenças, etc.

Diagrama de Bifurcação l l 0 < µ < 1 : extinção; 1 < µ < 3 : equilíbrio; µ > 3 : ocilação periódica, primeiro com período 2, depois com período 4, 8, 16 e assim até um ponto de acumulação onde começa a ocorrer caos. Dentro da faixa do caos, existem zonas onde o sistema volta a ter comportamento periódico; µ > 4 : o sistema diverge;

Pontos de Equilíbrio e Análise de Estabilidade Pontos de Equilíbrio: Análise de Estabilidade: Em ambos os casos, o ponto fixo só será estável se: , o que ocorre para o primeiro ponto na faixa: 0 < µ < 1 e para o segundo ponto na faixa: 1 < µ < 3

Diagrama de Teia l l l Poderosa ferramenta para análise de mapas unidimensionais; Possibilita acompanhar a evolução da variável de estado do sistema através das sucessivas iterações; A base do diagrama consiste da: Função F(. ), que nada mais é que o campo vetorial discreto da equação (seu papel é determinar as características dinâmicas do mapa) e da função identidade (usada como referência para a realização das iterações, introduzindo a realimentação inerente aos mapas discretos);

Diagrama de Teia Cerne do diagrama para µ = 3 l l Eixo x: valor presente no estado; Eixo y: valor após uma iteração; O diagrama nos dá a idéia de como realizar uma vez o processo iterativo. Mas, e depois? Aí entra a função identidade: através dela pode-se “transformar” um valor de x(n+1) do eixo y em um valor xn no eixo x;

Diagrama de Teia Fixando µ = 3 e x(0) = 0. 1 foram traçadas as duas primeiras iterações do mapa

Diagrama de Teia Fixando µ = 0. 5 e x(0) = 0. 1 l l Os pontos onde ocorrem cruzamentos entre F(. ) e a função identidade são os pontos de equilíbrio do mapa; Neste caso, o cruzamento ocorre apenas na origem, ou seja, xe = 0 é o único ponto de equilíbrio para este valor de µ;

Diagrama de Teia Fixando µ = 2. 5 e x(0) = 0. 1 l l l Encontramos dois pontos de equilíbrio; O primeiro, xe = 0, é instável. Podemos verificar no diagrama, verificando que uma reta tangente à parábola F(. ), na origem, tem coeficiente angular de magnitude maior que a unitária. Isto quer dizer que |J(0)| > 1; O segundo, xe = 0. 6, é estável;

Diagrama de Teia Fixando µ = 3. 3 e x(0) = 0. 1 l l Comportamento periódico como esperado; O estado não mais converge para um ponto fixo, mas tende a oscilar entre dois valores (vértices do quadrado);

Diagrama de Teia Fixando µ = 4 e x(0) = 0. 1 l l Comportamento caótico (natureza aperiódica); Figuras como esta explicam o fato de a nomenclatura destes diagramas estar associada à idéia de uma teia de aranha.

Mapa Logístico Simulação Virtual da evolução de uma população conforme o passar das gerações