Kijelentslogikai igazsg tautolgia a kijelentslogikai formja logikai igazsg

Kijelentéslogikai igazság (tautológia): a kijelentéslogikai formája logikai igazság, azaz bármilyen igazságértéket rendelünk a mondatbetűkhöz, az egész mondat igaz. Kijelentéslogikai (tautologikus) következmény: ha úgy rendelünk igazságértéket a mondatbetűkhöz, hogy a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz lesz. Kijelentéslogikailag (tautologikusan) ekvivalensek: bárhogy rendelünk a mondatbetűkhöz igazságértéket, egyszerre igazak. Elsőrendű logikai igazság az a FOL-mondat, amelyik igaz lesz, akárhogy adjuk meg a szereplő predikátumok terjedelmét és a nevek jelöletét. Avagy: az üres premisszahalmaz FOL-következménye. Elsőrendű logikai következménye egy FOL-mondat (konklúzió) adott FOLmondatoknak (premisszák) ha akárhogy adjuk meg a szereplő predikátumok terjedelmét és a nevek jelöletét, amennyiben a premisszák igazak lesznek, úgy a konklúzió is igaz lesz. Elsőrendűen (FOL-ban) ekvivalens két FOL-mondat, ha … Egyszerűbben: ha kölcsönösen következményei egymásnak.

Mindegyik FOL-fogalom tágabb, mint a megfelelő kijelentéslogikai fogalom (tautológia, tautologikus következmény, tautologikus ekvivalencia) és szűkebb, mint az általános logikai (analitikus) igazság, következmény, ekvivalencia. Hogyan tudjuk cáfolni FOL-ban a következményviszony fennállását? Volt példa: megadunk egy tárgyalási univerzumot és kijelöljük a szereplő predikátumok terjedelmét az univerzumon belül úgy, hogy a premisszák igazak legyenek, és a konklúzió hamis. (Ellenpélda. ) Kb. olyan, mintha egy Tarski-féle világot adnánk meg, csak a predikátumok jelentését nem kell megtartani. Azaz össze szabad cserélni pl. a Back. Of-ot az Adjoins-szal. Ha a predikátumok jelentését is meg akarjuk tartani, akkor a blokknyelv analitikus igazság-, következmény-, stb. fogalmához jutunk.

Legyen adott egy következtetés, keressünk hozzá ellenpéldát a fenti módon. Ha ezt meg tudjuk tenni (tehát olyan világot találunk, amelyben a premisszák igazak, a konklúzió meg hamis), akkor a premisszákból nem következik a konklúzió. Ha bizonyítani tudjuk (mondjuk szemantikai érveléssel), hogy ez nem tehető meg, akkor következik. Példa: Barbara-Barbari. HF: 10. 13 -10. 19 (Látszólag) másik módszer az elsőrendű következményviszony cáfolására: behelyettesítés. Helyettesítsük az előforduló predikátumokat jelentés nélküli predikátumbetűkkel. Vagy halandzsapredikátumokkal – l. könyv

Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá. Másképp ugyanaz: két nyitott mondat ekvivalens, hha a szabad változókat nevekkel helyettesítve ekvivalens mondatokat kapunk. Például: (1) S(x) P(x) P(x ) S(x) Ha egy kijelentéslogikai (tautologikus)ekvivalenciában a mondatokat (mondatbetűket) nyitott mondatokkal pótoljuk, mindig ekvivalens nyitott mondatokat kapunk. (Pótlás elve) Így kaphatjuk meg az (1) ekvivalenciát a kijelentéslogikai kontrapozíció törvényéből.

Helyettesítés elve: Ha egy A(B) mondaton belül a B részmondatot a vele ekvivalens C mondattal helyettesítünk, az új, A(C) mondat ekvivalens lesz A(B)-vel. A helyettesítés elvével kapjuk (1)-ből a következő FO elvivalenciát: x(S(x) P(x)) x( P(x ) S(x)) Ez a kvantifikált kontrapozíció szabálya. Hasonlóan kaphatjuk meg a kategorikus állítások különböző formalizálásainak ekvivalenciáját (felhasználva a kvantifikációs De Morgan-szabályokat is). Pl. egyetemes állító (a): x(S(x) P(x)) x( S(x) P(x)) x (S(x) P(x)) x(S(x) P(x))

Szétoszthatók-e a kvantorok egy konjunkció vagy diszjunkció tagjaira? x(P(x) Q(x)) x. P(x) x. Q(x) De ‘ x(P(x) Q(x))’ nem ekvivalens azzal, hogy ‘ x. P(x) x. Q(x)’ !!! És ha P(x) helyett egy P zárt mondatot veszünk? Akkor minden esetben lehetséges a szétosztás: x(P Q(x)) P x. Q(x) P mindenütt lehet olyan nyitott mondat is, amelyben x nem fordul elő szabadon Kondicionális és kvantifikáció kapcsolata? Legyen P megint zárt mondat. P x. Q(x) x(P Q(x)) P x. Q(x) x(P Q(x)) x. Q(x) P x(Q(x) P) x. Q(x) P x(Q(x) P) HF: 10. 24 -10. 29 – csak az ellenpéldákat kell küldeni (ahol vannak).

Jelentésposztulátumok A blokknyelvben vannak olyan logikai igazságok, amelyek nem FO igazságok. Ezeket hívtuk úgy, hogy a blokknyelv analitikus igazságai. Pl. (Back. Of(a, b) Back. Of(b, c)) Back. Of(a, c) Hasonlóan a köznyelvben: Ha a nagyobb, mint b és b nagyobb, mint c, akkor a nagyobb, mint c. Vannak olyan érvényes következtetések a blokknyelvben, amelyek nem FO érvényesek. Back. Of(a, b) A blokknyelvben Same. Row(b, c) majdnem mindig! Back. Of(a, c) Az ilyen következtetések általában átalakíthatók FO érvényes következtetéssé úgy, hogy a premisszákhoz hozzáveszünk egy vagy több, a szereplő predikátumok jelentésén alapuló logikai (analitikus) igazságot. Az ilyen pótpremisszákat hívjuk – Carnap nyomán – jelentésposztulátumoknak.