Jednotkov vektory z y x Vektory sa nazvaj

Jednotkové vektory z y x Vektory sa nazývajú báza, lebo pomocou nich sa dá vyjadriť ľubovoľný vektor ako ich superpozícia (lineárna kombinácia) 1

Skalárny súčin vyrobí z dvoch vektorov reálne číslo definované takto Skalárny súčin je zjavne komutatívny a distributívny, teda Definícia skalárneho súčinu vyžaduje definovať bázu. Mohlo by sa stať, že keď si niekto definuje svoju bázu odlišnú od našej (napríklad pootočí našu bázu) bude jeho výsledok pre skalárny súčin dvoch vektorov číslo odlišné od nášho. Nie je to tak, skalárny súčin dáva v každej báze rovnakú hodnotu, ako hneď uvidíme 2

Vektorové pole V každom bode priestoru je definovaný vektor, máme teda vektorovú funkciu polohy (a prípadne aj času) Predstavme si prúdiacu vodu a rýchlosť prúdenia v každom bode 3

Prietok cez infinitezimálnu plôšku Hranol videný zboku: Skalárny súčin! Dĺžka šikmej hrany je Výška hranola je Objem hranola je "základňa-krát-výška: Ak hustota vody je , potom hmotnosť vody v hranole je Všetka tá voda pretečie plôškou za čas Prietok vody za časovú jednotku teda bude (v jednotkách ) 4

Nový vektor: hustota prúdu nejakej veličiny Vzorec vyjadruje hmotnosť pretečenú cez infinitezimálnu plôšku za jednotku času. Zavedieme nový vektor, nazývame ho hustotou prúdu hmotnosti, Hmotnosť pretečená plôškou za jednotku času je potom Fyzikálny rozmer hustoty prúdu hmotnosti je zjavne Tu sme uvažovali vodu a prúd jej hmotnosti. Keby uvažovaná "tekutina" mala elektrický náboj, mohli by sme rátať koľko náboja pretečie plôškou za časovú jednotku a hodil by sa nám vektor hustoty prúdu náboja Je to syntakticky rovnaký vzorec, len teraz má iný význam, je to hustota elektrického náboja. Celkový náboj pretečený za jednotku času cez plôšku bude Náboj za jednotku času sa volá elektrický prúd a meria sa v Ampéroch. 5 Fyzikálny rozmer hustoty prúdu hmotnosti je zjavne

Nový pojem: výtok vektora z uzavretej plochy Mám vektorové pole prúdovej hustoty. Myslím si v priestore uzavretú plochu. Prúd na niektorých miestach do plochy vteká, inde vyteká. Vtekanie budem považovať za záporné vytekanie (skalárny súčin to zariadi) a budem počítať celkový výtok prúdu cez celú uzavretú plochu. Povrch plochy "vykachličkujem" infinitezimálnymi plôškami. Prúd cez jednu takú plôšku je Celkový prúd vytekajúci z uzavretej plochy je teda krúžok cez integrál znamená, že integračná plocha je uzavretá 6

Kachličkovanie sféry Súradnice bodu na sfére Obsahy plôšky Komponenty vektora 7

Začíname odvodenie Gaussovej vety Máme vektorové pole hustoty toku nejakej veličiny a počítajme výtok prúdu z malej (infinitezimálnej) plochy tvaru kocky. Keďže plocha je veľmi malá, prúdové pole v jej okolí je takmer rovnaké v každom bode, budeme teda uvažovať len jeho zmeny do prvého rádu (pri zmene bodu, v ktorom to pole vyčísľujeme). Vypočítajme najprv výtok prúdu cez pravú stenu kocky. Vektor plôšky pravej steny je Výtok cez pravú stenu bude Vektor plôšky ľavej steny je Výtok cez ľavú stenu bude Sumárny výtok cez pravú a ľavú stenu teda bude 8

Podobne by sme dostali pre sumárny výtok cez prednú a zadnú stenu A výtok cez hornú a dolnú stenu Sumárny výtok z celej kocky bude Výraz v zátvorke sa vyskytuje tak často, že dostal osobitný symbol a pomenovanie divergencia 9

Divergencia Majme vektorové pole Divergencia vektorového poľa je číselné pole ktoré v každom bode priestoru vypočítame podľa definície Výraz číselné pole je len iný názov pre funkciu troch priestorových súradníc Pozn. : divergenciu môžeme vypočítať pre ľubovoľné vektorové pole. To pole nemusí mať význam hustoty prúdu nejakej fyzikálnej veličiny 10

Gaussova veta divergencia je užitočná vec, ak chceme vypočítať výtok vektorového poľa z uzavretej plochy 11

Gaussova veta divergencia je užitočná vec, ak chceme vypočítať výtok vektorového poľa z uzavretej plochy Začneme tak, že vnútorný objem uzavretej plochy vyplníme malými (infinitezimálnymi) kockami. Ako keby sme chceli postaviť model tej plochy z kociek LEGO. Na obrázku je vyplnenie kockami naznačené len čiastočne. Ak budú kocky malé, vyplníme objem vnútri plochy dokonale. 12

Gaussova veta divergencia je užitočná vec, ak chceme vypočítať výtok vektorového poľa z uzavretej plochy Teraz vypočítame výtok vektorového poľa osobitne z každej vyplňujúcej infinitezimálnej kocky a všetky tie výtoky (bude ich takmer nekonečne veľa) sčítame. Pozrime sa, čo dostaneme 13

Gaussova veta divergencia je užitočná vec, ak chceme vypočítať výtok vektorového poľa z uzavretej plochy Toto sú dve susediace kocky výplne. Zjavne výtok cez pravú stenu ľavej kocky má opačné znamienko ako výtok cez ľavú stenu pravej kocky. (Lebo to čo vyteká z jednej kocky vteká do susednej). Takže príspevky do celkového súčtu výtokov zo susediacich stien sa 14 vyrušia

Gaussova veta divergencia je užitočná vec, ak chceme vypočítať výtok vektorového poľa z uzavretej plochy To čo sa zo sumy všetkých výtokov nevyruší, sú iba výtoky zo stien kociek, ktoré nemajú susednú stenu. To sú kocky na povrchu plochy. Ich steny vlastne vytvárajú uvažovanú uzavretú plochu 15

Gaussova veta divergencia je užitočná vec, ak chceme vypočítať výtok vektorového poľa z uzavretej plochy Suma výtokov vektorového poľa zo všetkých vyplňujúcich kociek je rovná celkovému výtoku z uvažovanej uzavretej plochy 16

Gaussova veta divergencia je užitočná vec, ak chceme vypočítať výtok vektorového poľa z uzavretej plochy Výtok z jednej kocky sa ale dá vypočítať ako 17

Gaussova veta divergencia je užitočná vec, ak chceme vypočítať výtok vektorového poľa z uzavretej plochy Záver: výtok vektorového poľa z uzavretej plochy môžeme vypočítať tak, že vnútorný objem plochy "vyskladáme" z infinitezimálnych kociek a výtok vektora vypočítame podľa vzorca 18

Gaussova veta Dostali sme Gaussovu vetu 19

voda • nestlačiteľná • koľko vtečie, toľko vytečie • celkový výtok z uzavretej plochy musí byť nulový • integrál z divergencie cez ľubovoľný objem musí byť nulový • divergencia hustoty prúdu vody musí byť nulová • Naozaj? • Čo ak vnútri uzavretej plochy voda zázračne mizne alebo sa rodí • Miznúť môže napríklad tak, že vnútri plochy je trpaslík s batériou a dvoma elektródami a robí elektrolýzu: rozkladá vodu na vodík a kyslík, tomu sa hovorí "nor" • Voda môže vznikať tak, že trpaslík má horák, kde horí vodík v kyslíkovej atmosfére, tomu sa hovorí "prameň" • tam kde sú nory je divergencia záporná, tam, kde sú pramene je divergencia kladná, inak je nulová (pre nestlačiteľnú vodu) 20

21

Radiálna fontána Predstavme si takúto fontánovú hlavicu z ktorej strieka ideálna nestlačiteľná, nemrznúca, nevyparujúca sa kvapalina vo vesmíre (vo vzduchoprázdne ďaleko od všetkých telies) A predstavme si, že otvory v hlavici sú mikroskopické a je ich miliardy, takže z hlavice strieka hmla mikroskopických kvapiek. Každá kvapka si zotrvačnosťou udržiava stálu rýchlosť a hýbe sa v smere radiály. Hmla blízko hlavice je hustá, keď sa vzďaľujeme od hlavice hmla redne (lebo trajektórie jednotlivých kvapiek – radiály – sa od seba vzďaľujú) 22

Prúdové pole radiálnej fontány Ako vyzerá pole rýchlostí: má smer a konštantnú veľkosť Riešenie: Hustota fontánovej hmly bude funkciou vzdialenosti od zdroja hustota prúdu vody bude Závislosť určíme z toho, že voda sa mimo centrálneho zdroja nestráca ani nevzniká. 23

Obalíme centrálny zdroj myslenou sférou o polomere R, potom celkový výtok vody von z tej sféry bude zrejme a táto hodnota nesmie závisieť na polomere R (lebo voda sa medzi dvoma sférami o rôznych polomeroch nestráca ani nevzniká), takže Hustota prúdu má smer radiály a klesá so štvorcom vzdialenosti. 24

Nové "fyzikálne zviera": elektrické pole 25

Pripomienka z prvej prednášky Programové vyhlásenie fyziky • • Vybrať kúsok sveta ako fyzikálny systém Popísať okamžitý stav toho systému Nájsť pohybové rovnice Predpovedať vývoj stavu do budúcnosti 26

Nové "fyzikálne zviera": elektrické pole Základná prírodopisná úloha: Čo je to stav elektrického poľa, zadaním čoho je určený Stav elektrického poľa je určený zadaním vektora intenzity elektrického poľa v každom bode priestoru. Teda zadaním vektorového poľa Časový vývoj stavu elektrického poľa je potom daný vektorovým poľom definovaným pre každý časový okamih, teda vektorovou funkciou, ktorá je navyše závislá aj na čase Našou vzdialenou úlohou je určiť, ak sa dá, riešením akej rovnice je časový vývoj stavu vychádzajúc zo zadaného počiatočného stavu. Prezradíme dopredu že sa to pre samotné elektrické pole nedá, ale dá sa to vyriešiť spoločne pre elektrické a magnetické pole preto nakoniec budeme hovoriť o elektromagnetickom poli. 27

Z definície je zrejmá fyzikálna jednotka intenzity elektrického poľa 28

Coulombov zákon 29

Všimnime si teraz zaujímavú matematickú podobnosť Coulombov zákon hovorí Pre hustotu prúdu vody z radiálnej fontány sme mali Intenzita elektrického poľa nie je hustotou prúdu žiadnej fyzikálnej veličiny, ale matematicky je to na nerozoznanie. To je motivácia na zavedenie pojmu tok intenzity elektrického poľa cez nejakú plôšku výrazom a pojmu výtok intenzity elektrického poľa z uzavretej plochy výrazom 30

Uvažujme teraz Coulombovo pole S S Tu je nakreslený rovinný rez Coulombovým poľom pre kladný náboj Q. A je tam nakreslený aj rez akousi uzavretou plochou S, výtok cez ktorú počítame. Z analógie s tečením vody je zrejme, že výtok poľa cez nakreslenú plochu je nulový, lebo sa v jej vnútri nenachádza zdroj 31

Uvažujme teraz Coulombovo pole S Teraz sme nakreslili uzavretú plochu: sféru so stredom v bode, kde je náboj budiaci pole výtok poľa zo sféry so stredom v mieste budiaceho náboja 32

Uvažujme teraz Coulombovo pole S’ S Teraz sme nakreslili ľubovoľnú uzavretú plochu obaľujúcu predchádzajúcu sféru a teda obsahujúcu vo svojom vnútri bod v, v ktorom sedí budiaci náboj. Z analógie s tokom vody je zrejmé, že výtok z plochy S’ je rovnaký ako výtok zo sféry S, lebo v priestore medzi sférou S a plochou S’ nie sú žiadne zdroje ani nory. Výtok poľa z uzavretej plochy je rovný ak pole budiaci náboj sa nachádza hocikde vnútri plochy 33

Uvažujme teraz Coulombovo pole S’ S Toto je pole pre záporný budiaci náboj Výtok poľa je potom záporný, veta platí Výtok poľa z uzavretej plochy je rovný ak pole budiaci náboj sa nachádza hocikde vnútri plochy 34

Siločiary Niekedy sa pole vizualizuje len pomocou tzv. siločiar. Nekreslia sa vektory poľa vo vybraných bodoch ale kreslia sa súvislé čiary, ktorých dotyčnica v každom bode je rovnobežná s vektorom intenzity elektrického poľa v tom bode. Pre Coulombovo pole tak dostaneme obrázok vpravo. Siločiary nie sú reálne prírodné objekty, je to len ľudská konvencia vizualizácie. 35

Všeobecná poloha budiaceho náboja O – počiatok súrad. sústavy 36

Princíp superpozície: pole budené dvoma nábojmi O – počiatok súrad. sústavy 37

Výsledné pole je súčtom polí budených jednotlivými nábojmi Ak budem počítať výtok výsledného poľa cez nejakú uzavretú plochu, dostanem kde je celkový náboj nachádzajúci sa vnútri plochy Gaussova veta sa nedá dobre použiť, pretože v priblížení bodového náboja je pole budené nábojom v mieste, kde sa ten náboj nachádza, singulárne, teda sa nedá derivovať a nedá sa používať pojem divergencie. Ale ak opustím pojem bodového náboja a budem si predstavovať, že náboj je rozmazaný po priestore s nábojovou hustotou potom pole nebude nikde singulárne a môžem v každom bode vypočítať jeho divergenciu 38

Ak je pole budené nábojom rozmazaným po priestore s hustotou potom stále bude platiť integrálna veta kde je celkový náboj nachádzajúci sa vnútri plochy Celkový náboj sa ale dá vypočítať z hustoty integrovaním cez objem Platí Gaussova veta Posledný vzťah ale musí platiť pre ľubovoľnú uzavretú plochu, preto sa musia rovnať podintegrálne výrazy a dostaneme 39

Prvá Maxwellowa rovnica 40

41

42

Elektrické pole v kondenzátore Q -Q S d Elektrické pole v kondenzátore je homogénne je len medzi doskami. Nakreslili sme uzavretú plochu Výtok poľa z tej plochy je zjavne vnútri plochy sa nachádza náboj a teda podľa Gaussovej vety platí 43

V praxi ak potrebujeme elektrické pole v nejakej oblasti, nerobíme to tak, že by sme explicitne rozmiestňovali po oblasti elektrické náboje. V oblasti vytvoríme kovové elektródy vhodného tvaru, na elektródy privedieme nejaké elektrické napätie. To vyvolá prerozdelenie nábojov medzi elektródami podobne, ako sme to videli v kondenzátore. Tým v oblasti vytvoríme elektrické pole. Napríklad v Röntgenovej lampe Komentár odznie slovne na prednáške. 44

Bavili sme sa o Voltoch, ale (oficiálne) nevieme, čo to je 45

Doplnok k stredoškolskej fyzike Asi poznáte vzorec pre prácu Ten vzorec platí ak je dráha priama, sila je rovnobežná s dráhou a rovnaká (konštantná) v každom bode dráhy. Keby sila nebola rovnobežná, prácu bude konať len zložka sily v smere dráhy. Keby sila nebola konštantná, musím prácu spočítať osobitne pe každý malý kúsok dráhy a potom malé príspevky zosumovať. 46

skalárny súčin!! 47

A B resp. 48

Ak by som sa s nábojom pohyboval po trajektórii 2 v opačnom smere, vykonalo by pole rovnako veľkú prácu ibaže opačného znamienka. Ak by som vykonal trajektóriu 1 a pokračoval po opačnej trajektórii 2, dostal by som sa do východzieho bodu, čiže by som prešiel uzavretú dráhu. Celkovo by sa vykonala nulová práca. Takže podmienkou správneho výpočtu práce pomocou údaju voltmetra je požiadavka teda ak krivkový integrál intenzity poľa po ľubovoľnej uzavretej dráhe je nulový. 49

Prezradíme dopredu faktický poznatok fyziky V elektrickom poli platí 50

Zhrnutie: Ak v elektrickom poli platí (1) po každej uzavretej dráhe, potom práca vykonaná poľom pri prenesení náboja z miesta „ 1“ do miesta „ 2“ nezávisí na použitej ceste a je rovná ale súčasne je rovná medzi bodmi 1 a 2 je . Porovnaním dostaneme, že napätie Ak neplatí rovnica (1) (teda ak je prítomné časovo premenné magnetické pole), môžete tiež pripojiť voltmeter medzi body „ 1“ a „ 2“ (lebo ste slobodná ľudská bytosť), ale zvážiť, čo potom znamená údaj jeho displeja môže byť niekedy veľmi ťažké. 51

Elektrické pole v kondenzátore Q -Q S d Kapacita doskového kondenzátora teda bude Pozn. : Teraz je už zrejmé, že jednotkou permitivity je Farad na meter 52

Jednotky elektrických veličín Elektrický prúd: Ampér A Napätie: Volt V Výkon: Watt W= V A, preto V = J /(A s) = J/C Náboj: Coulomb C = A s Kapacita: Farad = C / V Intenzita poľa V/m (lebo E. d = U) Permitivita F / m 53