IL PROGETTO DELLE OPERE CIVILI UNIT R 3

IL PROGETTO DELLE OPERE CIVILI UNITÀ R 3 - parte 2 I RACCORDI DEI RETTIFILI Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629]

PROPRIETÀ GEOMETRICHE DEI CERCHI 2 1 4 3 Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 2

TIPOLOGIE DI CURVE CIRCOLARI INTERNA MONOCENTRICA INTERNA POLICENTRICA Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] ESTERNA (TORNANTE) 3

LA CURVA CIRCOLARE NELLO SPAZIO Le curve circolari rappresentano la proiezione sul piano orizzontale dell’asse stradale in curva. Nello spazio, cioè sul terreno, il raccordo circolare non è, in generale, una curva piana, ma un arco di elica che avvolge una superficie cilindrica. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 4

LA CURVA CIRCOLARE NELLO SPAZIO Il punto V, intersezione planimetrica dei due rettifili AV e BV, e chiamato vertice dei rettifili, si realizza solo sul piano di riferimento. Sono le proiezioni dei rettifili a intersecarsi in V, mentre i rettifili nello spazio sono, in generale, linee sghembe, e in corrispondenza della verticale tracciata da V, V 1 e V 2 presentano quote (QV 1, QV 2) diverse e generano perciò un dislivello V. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 5

ELEMENTI DELLE CURVE CIRCOLARI = 180° – t = R tg /2 t = R cotg /2 c = 2 R sen /2 s = R (1 – cos /2) s = 2 R sen 2 /4 b= Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] s cos /2 R S = -------180° S = R rad 6

CURVA TANG. A 3 RETTIFILI (1° CASO) Elementi noti: AB, , . La curva è un arco del cerchio ex-inscritto al triangolo ABV. Raggio della curva S R= R = p tg 2 p – AB t’= t AV t”= t BV Per controllo : t’ + t” = AB AT 1 = AT 2 = t’ = R cotg /2 BT 2 = BT 3 = t” = R cotg /2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 7

CURVA TANG. A 3 RETTIFILI (2° CASO) Elementi noti: AB, , . La curva è un arco del cerchio inscritto al triangolo ABP. p – b R= p–a p–c SRaggio della curva R = (p – a) tg p 2 Posizione di tangenza t’ = p dei – a =punti R cotg /2 t” = p – b = R cotg /2 t’” = p – c = R cotg /2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 8

CURVA PER UN PUNTO ‘P’ ASSEGNATO Rilievo di P per allineamenti e squadri: misura di VH=x e HP=y ’ = /2 – =arctg(y/x) d = y/sen Applicando il teorema dei seni al triangolo VPO: Dal triangolo retto VOT 1: d H Sostituendo nella precedente si ottiene: sen ’ * = arcsen (------) sen /2 ATTENZIONE è: = 180° – * R= Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] d sen ’ sen 9

CURVA CON PENDENZA ‘p’ ASSEGNATA Definizione di pendenza all’interno della curva Sostituendo nella precedente definizione di pendenza e semplificando: Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 10

CURVA CON PENDENZA ‘p’ ASSEGNATA 1° caso particolare: rettifili orizzontali a diversa quota p 1=p 2=0: 2° caso particolare: rettifili che si intersecano nello spazio V 1 V 2=0: In questo caso particolare la pendenza non dipende dal raggio ma dalle pendenze dei due rettifili, Copyright © 2009 Zanichelli oltre che editore S. p. A. , Bologna [6629]dall’angolo . 11

CURVE COMPOSTE Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 12

LE CURVE COMPOSTE Sono curve circolari formate da due o più archi di circonferenza con diverso raggio. L’impiego di questo tipo di curve spesso pone problemi alla circolazione; tuttavia possono venire utilizzate nei progetti stradali quando particolari esigenze topografiche, o di economia, lo richiedano. Le curve composte più usate sono: tornanti; a due centri (bicentriche); a tre centri; policentriche. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 13

I TORNANTI Sono curve esterne che consentono una rapida inversione, più o meno completa, della direzione dell’asse stradale. Essi permettono anche il superamento di forti dislivelli in brevi spazi. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 14

GEOMETRIA DEI TORNANTI 2° rettifilo R 1 = arcsen (------) V 1 V 2 a controcurva 1 = 100 C– 1 2 = 100 C– 2 1 = 1 2 = 2 V 1 T 3 = R tg 1 V 2 T 4 = R tg 2 t 1 = V 1 T 3 – m t 2 = V 2 T 4 – n 1° rettifilo 1 a controcurva Risvolto R= Rmin Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] R 1= t 1 cotg ( 1/2) R 2= t 2 cotg ( 1/2) 15

LE CURVE COMPOSTE: a 2 centri Elementi fondamentali (5) , t 1, t 2, R 1, R 2 I centri O 1 e O 2 sono allineati col punto di tangenza T comune ai due archi. La tangente V 1 V 2 comune ai due archi è ortogonale in T alla congiungente O 1 e O 2. Tra gli angoli al centro e quelli al vertice dei due archi sussistono le seguenti relazioni: 1 + 2 = 200 C + 1 + 2 = 200 C t sen R cos R 2 t 2 R 1 sen t 1 cos 2 1 Elementi noti (4) 1, t 2, R 1 1 tg ---- = ----------------- t 2 R 1 sen t 1 cos R 2 = R 1 + ---------------sen 2 1 = 200 C ( 2 + ) Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 16

ANDAMENTO DELLA FORZA CENTRIFUGA NELLE CURVE BICENTRICHE (supponendo che il veicolo la percorra a velocità costante) F”C F’C FC=0 F’C 0 FC=0 Il passaggio da una curvatura a un’altra determina un salto più o meno grande nell’intensità della forza centrifuga FC a cui è soggetto un veicolo in curva, a causa della sua velocità. Ciò può determinare grosse difficoltà al moto dei veicoli e Copyright © 2009 Zanichelli compromettere la sicurezza della circolazione. editore S. p. A. , Bologna [6629] 17

LE CURVE COMPOSTE: a 3 centri Costituisce la logica premessa ai raccordi progressivi. R 0< R R 1= 2 R 0 p= spostamento primitiva Curva circolare primitiva Inserimento a centro conservato Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 18

CURVE PROGRESSIVE Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 19

LE CURVE PROGRESSIVE Le norme non consentono di raccordare i rettifili direttamente con curve circolari, ma prescrivono che tra rettifilo e curva circolare sia interposto un tratto a raggio variabile. Si tratta di elementi curvilinei con raggio R variabile tra un valore infinito, in corrispondenza dei rettifili, e il valore R 0 della curva circolare. IL PROBLEMA nasce dal fatto che il passaggio dalla traiettoria del veicolo, dal rettifilo alla curva circolare, è praticamente impossibile perché l’azione sterzante non può essere istantanea (nel punto di tangenza), ma al contrario richiede un certo tempo durante il quale il veicolo descrive una traiettoria che si discosta da quella circolare dell’asse della corsia, tagliando la corsia vicina. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 20

I RACCORDI PROGRESSIVI LA SOLUZIONE: per migliorare le condizioni di efficienza nel moto del veicolo si provvede a inserire, tra il rettifilo e la curva circolare, un opportuno raccordo di raggio R variabile continuità da R = , sul punto di tangenza col rettifilo, a R = R 0 in corrispondenza del punto di tangenza con il tratto circolare. Ramo progressivo Ramo circolare Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 21

I TIPI DI RACCORDI PROGRESSIVI Le norme affermano che le curve a raggio variabile vengono inserire tra due elementi del tracciato a curvatura costante, costante estendendo con ciò al rettifilo il significato di elemento curvilineo con raggio di curvatura costante di valore infinito (R = ). TIPOLOGIE DI CURVE PROGRESSIVE Di transizione, se uniscono un rettifilo a una curva circolare. Di flesso, se uniscono due curve circolari percorse in verso opposto Di continuità, se uniscono due curve circolari percorse nello stesso verso Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 22

IL CONTRACCOLPO Accelerazione centrifuga di un veicolo che percorre la curva a velocità v costante a. C = v 2 R (m/sec 2) CONTRACCOLPO: è la variazione dell’accelerazione centrifuga nella unità di tempo: c = Da / t (m/sec 3) a”C a’C in cui: Da = a”C – a’C LE NORME prescrivono che il contraccolpo non superi il seguente valore limite (m/sec 3): Rt > Rt+1 Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] cmax = 50, 4 VPsup 23

SOPRAELEVAZIONE DELLA CURVA Il graduale passaggio dalla sagomatura a tetto in rettifilo a quella a falda nel tratto circolare, si ottiene facendo ruotare la carreggiata stradale, o parte di essa (cioè una o più corsie), intorno al suo asse, oppure intorno al suo ciglio interno. La rotazione si esegue in ogni caso lungo i tratti a raggio variabile del tracciato, e la legge di rotazione è tale da dar luogo a un andamento lineare del profilo dei cigli della carreggiata. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 24

LA SOVRAPENDENZA Di DEL CIGLIO ESTERNO Per evitare ristagni d’acqua durante la rotazione della piattaforma, le norme prescrivono per il ciglio esterno (quello che si solleva) una pendenza longitudinale non inferiore a un valore Dimin; mentre per limitare il rollio del veicolo nel suo moto la stessa pendenza non dovrà superare il valore assegnato Dimax. Dimin = 0, 1· B (%) Profilo dei cigli asse B Dimax = 18 · ---- (%) Vp Di ciglio esterno ciglio interno Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 25

LA CLOTOIDE doppia spirale di Cornu (Alfred) La clotoide (nome dovuto al matematico italiano Cesàro) è una curva in cui la lunghezza del percorso compiuto su di essa fino a un certo punto P (sviluppo s), è inversamente proporzionale al raggio di curvatura R nello stesso punto. Cloto: figura mitologica che dipanava il filo della vita dei mortali, avvolgendolo sul fuso. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 26

LA CLOTOIDE: EQUAZIONE PARAMETRICA La clotoide può essere definita come il luogo dei punti per i quali è costante il prodotto tra raggio di curvatura R e la lunghezza dell’arco s misurato da un’origine fissa. Nella progettazione stradale viene impiegata una parte limitata della curva clotoide, il cui raggio di curvatura varia continuità da un valore infinito, in corrispondenza dell’origine, a un valore infinitesimo (dunque passante per un valore intermedio finito R 0). Equazione della clotoide R · s = A 2/R A: parametro della clotoide o di scala (espresso in m). Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 27

LA CLOTOIDE: geometria Angolo tra il rettifilo e la tangente alla clotoide nel generico punto P. s = ----- (rad) 2 R essendo s = A 2 / R A 2 = ----- (rad) 2 R 2 In corrispondenza del punto T di tangenza si ha: s = LT e R = R 0 . IMPORTANTE: IMPORTANTE la lunghezza dello sviluppo del ramo di transizione LT deve essere superiore a un valore Copyright © 2009 Zanichelli limite S. p. A. , Bologna [6629] Lmin prescritto dalla editore normativa. A 2 0 = ----- (rad) 2 R 02 0 0 28

IL PARAMETRO DI SCALA ‘A’ Il parametro A deve (NORME) assumere valori tali che i raccordi progressivi progettati siano in grado di garantire i seguenti criteri: 1. una variazione di accelerazione centrifuga (contraccolpo) contenuta entro valori accettabili; 2. una limitazione della pendenza longitudinale (o sovrappendenza) dei cigli della piattaforma; 3. la percezione ottica corretta dell’andamento del tracciato. 2° – Limitazione della 3° – Criterio 1° – Limitazione del sovrappendenza contraccolpo estetico Raccordi di transizione R 0 A R 0/3 essendo: (qf qi) 0 Raccordi di continuità essendo: cmax =50, 4/V A 0, 021 V 2 essendo: smax =Lt=A 2/R 0 V 3 Lt Lmin = --------3, 63 cmax R 0 Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 29

INSERIMENTO A RAGGIO CONSERVATO 1° Angolo al centro del tratto circolare: ’ = - 2 0 2° Traslazione della primitiva: YT – R 0(1 – cos 0) = -------------cos /2 3° Lunghezza del ramo di clotoide da S a T: V 3 Lt = --------3, 63 cmax R 0 4° Posizione punto di tangenza S sul rettifilo Copyright 2009–Zanichelli SV = ( XT – R 0 sen 0) +©[(Y R 0(1 – cos 0)] tg /2 + R 0 tg /2 T editore S. p. A. , Bologna [6629] 30

LA RICERCA DI XT=Xmax e YT=Ymax 1° MODO: Tavole clotoide unitaria: A=1 2° MODO: Polinomio di Mc Laurin L’angolo φ0 deve essere utilizzato in radianti. Il calcolo del valore della parentesi quadrata (detto polinomio di Mac Laurin) può essere senz’altro approssimato al secondo termine in entrambe le espressioni. Tutti gli elementi lineari della tabella dovranno Copyright © 2009 Zanichelli essere moltiplicati per il parametro di scala editore S. p. A. , Bologna [6629] A. 31

UN ESEMPIO NUMERICO PROBLEMA: PROBLEMA Si debba realizzare un raccordo di transizione per collegare una curva circolare primitiva di raggio R 0=250 m, con due rettifili formanti un angolo =94 c. Essendo V=80 km/h la velocità di progetto nella curva, determinare gli elementi fondamentali del raccordo di transizione trascurando gli effetti della sagomatura trasversale della carreggiata. Soluzione Essendo il raccordo simmetrico, basta studiare il primo ramo. = 200 C – 94 C = 106 C: angolo al centro della primitiva T 1 V= t = 250 tg (106 C/2) = 274, 75 m: tangente della primitiva cmax = 50, 4/80 = 0, 63 m/sec 3: valore massimo del contraccolpo : parametro di scala della clotoide (criterio 1: contraccolpo) 250/3 < A < 250: verifica della clotoide secondo il criterio estetico (criterio 3) 803 Lt = ---------- = 69, 67 m: sviluppo complessivo dell’arco di clotoide 3, 63 0, 63 250 131, 98 2 0 = ------ = 0 rad, 13935 = 8 C, 8713: angolo che la tangente alla clotoide nel suo punto terminale 2 250 2 ’=106 C – 2 8 C, 8713 = 88 C, 2574: angolo al centro dell’arco di primitiva T’ 1 T’ 2 da raccordare alla clotoide 250 88 C, 2574 S’ = ------------ = 346, 58 m: sviluppo dell’arco di primitiva T’ 1 T’ 2 da raccordare alla clotoide 200 C STOT = 69, 67 + 346, 58 + 69, 67 = Copyright 485, 92 m: ©sviluppo totale del raccordo di transizione 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 32

Le coordinate XT e YT del punto di tangenza T (punto finale della clotoide e iniziale per la curva circolare) si ricavano dal polinomio di Mac Laurin approssimando il calcolo al secondo termine: 3, 23 – 250 (1 – cos 8 C, 8713) = ------------------ = 1, 20 m: valore della traslazione della primitiva lungo la bisettrice cos (106 C/2) SV = [69, 53 – 250 sen 8 C, 8713] + [3, 23 – 250 (1 – cos 8 C, 8713)] tg (106 C/2) + 274, 75 = = 34, 80 + 0, 88 + 274, 75 = 310, 43 m: distanza del punto iniziale della clotoide dal vertice V Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Bologna [6629] 33