HITUNG DIFERENSIAL Widita Kurniasari Modul 5 6 Juli

HITUNG DIFERENSIAL Widita Kurniasari Modul 5 & 6 Juli 2006

ALJABAR KALKULUS Konsep matematika yg mempelajari tk perubahan dr suatu fungsi DIFERENSIAL • Mempelajari tk. perubahan rata-rata/seketika dr suatu fungsi • Mencari turunan dr suatu fungsi INTEGRAL • Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya • Menentukan luas bidang APLIKASI • Menghitung nilai optimal • Analisis marginal APLIKASI • Surplus konsumen dan surplus produsen

PENGERTIAN LIMIT n n n Konsep dasar diferensial Adalah harga batas tertentu, L, yang dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a. Kegunaan Limit : q q q Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu Menentukan kontinuitas/diskontinuitas suatu fungsi Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan fungsi

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU n n Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ Contoh :

KONTINUITAS FUNGSI n Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu untuk x = a dari suatu nterval tertentu jika : q Y = f(a) terdefinisi mempunyai harga tertentu, q misal L q L = f(a)

PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL n n Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X Jika perubahan X ( X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka : q Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =

TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT n n n Y = c Y’ = 0 Y = a. X + b Y’ = a Y = Xn Y’ = n Xn-1 Y = Un Y’ = n Un-1. U’ Y = U ± V Y’ = U’ ± V’ Y = U/V Y’ = (U’V – V’U)/V 2 Y = ex Y’ = ex Y = eu Y’ = u’. eu Y = ln X Y’ = 1/X Y = ln U Y’ = U’/U Y = ax Y’ = ax ln a

n Turunan fungsi implisit Y = f’(x) X n Turunan yang lebih tinggi n Turunan fungsi dalam bentuk parameter Jika X = f(x) dan Y = g(x), maka

APLIKASI TURUNAN PERTAMA n n Menentukan gradien/slope garis singgung Y – Y 1 = m (X – X 1) m = Y’ Menentukan koordinat titik stasioner q q n Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun q q n Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien 0 f’(x) = 0 Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner. Monoton naik : X > 0 Y > 0 Monoton turun : X > 0 Y < 0 Menghitung harga limit bentuk tak tentu dengan cara L’Hopital

APLIKASI TURUNAN KEDUA n Menentukan bentuk kurva q q n Cekung ke atas (concave upward) : n Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X n Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0 Cekung ke bawah (concave downward) : n Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X n Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0 Menentukan titik belok dan titik sadel q q Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan cekung ke bwh atau sebaliknya Syarat : Y” = f”(x) = 0 Titik Belok : untuk X = 0 Y’ = 0, Y” = 0 Titik Sadel : untuk X = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0

CONTOH SOAL Diketahui fungsi Y = X 3 – 3 X 2 – 9 X + 22, tentukan : n 1. 2. 3. Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 Koordinat titik esktrim (maks/min) Koordinat titik belok/titik sadel

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI n Analisis marginal q q Laju pertumbuhan Menghitung Marginal Revenue (MR) dan Marginal Cost (MC) MR = TR’ MC = TC’

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI n Harga Ekstrim q q Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0 Laba maksimum (rugi minimum), n n q = TR – TC ’ = 0 MR = MC Output optimum n n Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum AC minimum AC’ = 0 AC = MC

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI n Elastisitas q Mengukur perubahan suatu variabel akibat perubahan variabel lain q Jenis elastisitas : permintaan/harga (Ed), penawaran (Es), dll q Perhitungan elastisitas : n Elastisitas Titik (Point Elasticity) n Elastisitas Busur (Arc Elasticity)

CONTOH SOAL Diketahui D : Q = 500 – 0, 5 P dan TC = Q 2 + 790 Q + 1. 800 n 1. 2. 3. 4. 5. Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC, AVC, dan AFC ketika Q = 10 Hitung TR maksimum Hitung laba maksimum/rugi minimum Hitung output optimum Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100