HITUNG DIFERENSIAL Widita Kurniasari SE ME ALJABAR KALKULUS

HITUNG DIFERENSIAL Widita Kurniasari, SE, ME

ALJABAR KALKULUS Konsep matematika yg mempelajari tk perubahan dr suatu fungsi DIFERENSIAL • Mempelajari tk. perubahan rata-rata/seketika dr suatu fungsi • Mencari turunan dr suatu fungsi INTEGRAL • Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya • Menentukan luas bidang APLIKASI • Menghitung nilai optimal • Analisis marginal APLIKASI • Surplus konsumen dan surplus produsen

PENGERTIAN LIMIT • Konsep dasar diferensial • Adalah harga batas tertentu, L, yang dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a. • Kegunaan Limit : – Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu – Menentukan kontinuitas/diskontinuitas suatu fungsi – Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan fungsi

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU • Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ • Contoh :

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ Contoh :

KONTINUITAS FUNGSI • Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu untuk x = a dari suatu interval tertentu jika memenuhi 3 syarat: – Y = f(a) terdefinisi – mempunyai harga tertentu, misal = L – L = f(a) Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, fungsi f(x) untuk x = a, tidak kontinyu atau disebut diskontinyu

Contoh 1. Y = f(x) = 4 x + 1 X– 2 2. tidak kontinyu untuk x = 2 hanya ada kalau x ≥ 3 2 x – 1 untuk x < 2 3. Y = 5 – x untuk 2 ≤ x < 4 x²- 10 untuk x ≥ 4 karena pada saat x = 4 harga y = 4²-10 = 6 dan , sehingga grafik fungsi kedua dan ketiga tidak bersambungan (tidak kontinyu)

PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL • Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X • Jika perubahan X ( X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka : – Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =

TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT • • • Y = c Y’ = 0 Y = a. X + b Y’ = a Y = Xn Y’ = n Xn-1 Y = Un Y’ = n Un-1. U’ Y = U ± V Y’ = U’ ± V’ Y = U/V Y’ = (U’V – V’U)/V 2 Y = ex Y’ = ex Y = eu Y’ = u’. eu Y = ln X Y’ = 1/X Y = ln U Y’ = U’/U Y = ax Y’ = ax ln a

Latihan Soal 1. Y = 4 x 3+3 x 2– 5 x+7 x-10 2. Y = ln(6 x 2+x)-e 3 x-2 3. Y = (4 x 2 -1)/(2 x+3) 4. Y = 3 x 2 e-2 x 5. Y = ln((4 x+5)/(2 x-1)) 6. Y = (3 x– 7)6 7. Y = 2 t 2 -4 t dan X = 3 t+1

APLIKASI TURUNAN PERTAMA • Menentukan gradien/slope garis singgung Y – Y 1 = m (X – X 1) m = Y’ • Menentukan koordinat titik stasioner – Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien = 0 f’(x) = 0 – Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.

Contoh • Y = x³-3 x²+6 x+2 • Y’ = 3 x²-6 x+6 tidak mempunyai titik stationer sebab tidak memiliki akar-akar nyata (D < 0) • • • Y = x³-3 x²-9 x+10 stationer pada y’ = 0 Y’ = 3 x²-6 x-9 = 0 atau 3(x²-2 x-3) = 3(x-3)(x+1) = 0 X 1 = 3 dan x 2 = -1 yakni absis titik-titik stationer Untuk x 1 = 3 y 1= (3)³-3(3)²-9(3)+10 = -17 Untuk x 2 = -1 y 2= (-1)³-3(-1)²-9(-1)+10 = 15 Jadi titik stationer fungsi y = x³-3 x²-9 x+10 adalah titik : A (3, -17) dan B (-1, 15)

APLIKASI TURUNAN PERTAMA • Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun – Monoton naik : X > 0 Y > 0 – Monoton turun : X > 0 Y < 0 • Contoh: • Y = x²- 4 x Y’ = 2 x – 4 • Untuk menentukan di bagian mana kurva Y = x²-4 x monoton naik maka harus ditentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Y’ > 0 atau 2 x-4 > 0 sehingga himpunan penyelesaiannya adalah A = {x/x > 2}. Jadi untuk interval x > 2 fungsi tersebut akan monoton naik.

APLIKASI TURUNAN KEDUA • Menentukan bentuk kurva – Cekung ke atas (concave upward) : • Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X • Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0 – Cekung ke bawah (concave downward) : • Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X • Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0

APLIKASI TURUNAN KEDUA • Menentukan titik belok dan titik sadel – Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan cekung ke bwh atau sebaliknya – Syarat : Y” = f”(x) = 0 – Titik Belok : untuk X = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0 – Titik Sadel : untuk X = 0 Y’ = 0, Y” = 0

CONTOH SOAL • Diketahui fungsi Y = X 3 – 3 X 2 – 9 X + 22, tentukan : 1. Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 2. Koordinat titik esktrim (maks/min) 3. Koordinat titik belok/titik sadel

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI • Analisis marginal – Laju pertumbuhan – Menghitung Marginal Revenue (MR) dan Marginal Cost (MC) MR = TR’ MC = TC’

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI • Harga Ekstrim – Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0 – Laba maksimum (rugi minimum), • = TR – TC • ’ = 0 MR = MC – Output optimum • Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum • AC minimum AC’ = 0 AC = MC

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI • Elastisitas – Mengukur perubahan suatu variabel akibat perubahan variabel lain – Jenis elastisitas : permintaan/harga (Ed), penawaran (Es), dll – Perhitungan elastisitas : • Elastisitas Titik (Point Elasticity) • Elastisitas Busur (Arc Elasticity)

• CONTOH SOAL Diketahui D : Q = 500 – 0, 5 P dan TC = Q 2 + 790 Q + 1. 800 1. Hitung TR, MR, AR, TC, MC, dan AC ketika Q = 10 2. Hitung TR maksimum 3. Hitung laba maksimum/rugi minimum 4. Hitung output optimum 5. Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100