GRFOK Definci Grfnak nevezzk vges vagy megszmllhatan vgtelen

GRÁFOK Definíció: Gráfnak nevezzük véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok pont és azokat összekötő szintén véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok egyszerű ív unióját. A pontok a gráf csúcsai, az ívek a gráf élei. Legalább egy csúcs van; minden él két csúcsot köt össze, vagy egy csúcsot önmagával.

TÖRTÉNETI HÁTTÉR A 18. században a Königsberg városát átszelő Pregel folyón hét híd vezetett át az ábra szerint. Vasárnaponként a város lakói szívesen sétálgattak, és felvetették azt a kérdést, hogy lehetséges-e, hogy valaki a lakásából indulva minden hídon átsétáljon, majd hazaérkezzen úgy, hogy egyik hídon sem ment át egynél többször. A problémával a városukban élő híres matematikushoz, Leonard Eulerhez fordultak, aki akkor a szentpétervári akadémia tanára volt.

A FELVETETT PROBLÉMÁK �Van-e olyan városrész, amelyből indulva bejárhatják a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, de nem kell feltétlenül visszaérkezni-ük a kiindulási helyre? �Legkevesebb hány hidat kell építeni, és hova, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudják járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, és nem kell feltétlenül vissza-érkezniük a kiindulási helyre? �Legkevesebb hány hidat kell építeni, és hova, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudják járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjünk át, és

A PROBLÉMA GRÁFBAN A folyó két partja és a szigetek a gráf egy-egy csúcsát jelentik, az őket összekötő hidak a gráf élei. Így négy pontú, hét élű gráfot kapunk:

GRÁFOK FAJTÁI �Egy gráfot végesnek nevezünk, ha véges sok csúcsa és véges sok éle van. �Ha két csúcsot több él is összeköt, akkor azokat többszörös élnek nevezzük. �Ha egy él két végpontja ugyanaz a csúcs, akkor azt hurokélnek nevezzük.

GRÁFOK FAJTÁI �Egy gráfot egyszerűnek nevezünk, ha bármely két csúcsot legfeljebb egy él köt össze, és bármely él végpontjai különböző csúcsok (vagyis, ha nem tartalmaz többszörös- vagy hurokélt).

GRÁFOK FAJTÁI �Egy gráfot teljesnek nevezünk, ha véges, egyszerű, és bármely két csúcshoz létezik őket összekötő él. (Tehát bármely két csúcsot pontosan egy él köt össze. ) A teljes gráf éleinek száma:

FOKSZÁM �Definíció: Egy gráf egyik csúcsából induló élek számát a csúcs fokszámának nevezzük. (Ha egy csúcsnál van hurokél, akkor az az él ebből a szempontból „kettőnek számít”. ) �Tétel-1: Véges gráfban a csúcsok fokszámának összege egyenlő az élek számának kétszeresével. �Tétel-2: Véges gráfban a páratlan fokszámú csúcsok száma páros.

SÉTA, VONAL, ÚT �Sétának nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben ugyanazok az élek és pon-tok többször is előfordulhatnak. �Vonalnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben minden él legfeljebb egyszer fordulhat elő , de lehetnek olyan pon-tok, amelyek többször is előfordulnak. �Útnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször.

KÖR �Körnek nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben a kiindulási pont megegyezik a végponttal, egyébként minden él és minden más pont legfeljebb egyszer fordul elő.

EULER VONAL � Definíció: Egy vonalat Euler-vonalnak nevezünk, ha az a gráf minden élén áthalad. Az Euler-vonal lehet nyitott , ha a kezdőpontja nem egyezik meg a végpontjával, vagy lehet zárt , ha a kezdőpontja megegyezik a végpontjával. � Tétel: Egy gráfban zárt Eulervonal létezésének szükséges feltétele , hogy minden pont fokszáma páros legyen. Egy gráfban nyitott Eulervonal létezésének szükséges feltétele , hogy két pont fokszáma páratlan, a többi páros legyen.

ÖSSZEFÜGGŐ �Definíció: Egy gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely két csúcsához létezik olyan útvonal, melynek kezdőpontja az egyik tekintett csúcs, végpontja pedig a másik. �Tétel: Ha egy összefüggő gráfban minden pont fokszáma páros, akkor a gráfban van zárt Euler-vonal. �Tétel: Ha egy összefüggő gráfban két pont fokszáma páratlan, a többi pont fokszáma páros, akkor a gráfban van nyitott Euler-vonal.

A PROBLÉMA MEGOLDÁSA Mivel a Königsbergi hidak gráfjában mind a négy pont fokszáma páratlan, nincs olyan városrész, amelyből indulva bejárhatják a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, akár visszaérkeznek a kiindulási helyre, akár nem. Ahhoz, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudják járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, és nem kell visszaérni a kiindulási helyre, elég egy hidat építeni két városrész közé. Így a négy csúcsból kettőnek páros, kettőnek páratlan lesz a fokszáma. Például:

A PROBLÉMA MEGOLDÁSA Ahhoz, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudják járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjenek át, és vissza érjenek a kiindulási helyre, két hidat kell építeni úgy, hogy a két híd által összekötött városrészek között ne legyen azonos. Így mind a négy csúcsnak páros, lesz a fokszáma, és így bármelyik városrészből elindulhatunk. Például: