Funktsiooni uurimine T Lepikult 2005 lesanne On antud

Funktsiooni uurimine © T. Lepikult, 2005

Ülesanne On antud funktsioon Leidke selle funktsiooni a) määramispiirkond, b) graafiku ja x-telje lõikepunkt, c) miinimumpunkti abstsiss. Lahendus a) määramispiirkonna X leidmisel arvestame, et logaritmida saab vaid positiivset arvu; seetõttu peab olema täidetud tingimus Kuna rohkem kitsendusi antud funktsiooni korral muutujale x ei ole, võime lugeda esimese küsimuse vastatuks:

Lahendus (2) b) graafiku ja x-telje lõikepunkti leidmiseks tuleb lahendada võrrand f(x) = 0 ehk Toome selle võrrandi vasakul poolel seisvas avaldises muutuja x sulgude ette. Saame tulemuseks: Et korrutis oleks 0, peab vähemalt üks teguritest olema null: 1) x=0 (ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda) 2) ln x – ln 5 = 0 , 3) millest järeldub, et 4) ln x = ln 5 ehk 5) x = 5

Lahendus (3) Viimati leitud lahend asub funktsiooni määramispiirkonnas. Seetõttu on vastus teisele küsimusele, et antud funktsiooni graafik lõikab x-telge kohal x = 5. c) Funktsiooni miinimumpunkti abstsissi leidmiseks tuleb esmalt leida funktsiooni tuletise nullkoht: Võrdsustame saadud tuletise avaldise nulliga ja lahendame tekkiva võrrandi:

Lahendus (4) Veendumaks, et leitud tuletise nullkoht (kriitiline koht) on uuritava funktsiooni miinimumpunkt, leiame ka funktsiooni teist järku tuletise: Leiame teist järku tuletise väärtuse kriitilisel kohal: Asjaolust, et teise tuletise väärtus kriitilisel kohal on positiivne, järeldub, et leitud kriitilisel kohal realiseerub uuritava funktsiooni miinimum. Vastus kolmandale küsimusele kõlab seega nii: funktsiooni miinimumpunkti abstsissiks on x = 5/e.