Funktsiooni uurimine tuletise abil Heldena Taperson www welovemath

Funktsiooni uurimine tuletise abil Heldena Taperson www. welovemath. ee

Meenuta • Määramispiirkond X • Muutumispiirkond Y • Funktsiooni nullkohad f(x) = 0 • Funktsiooni positiivsuspiirkond f(x) > 0 • Funktsiooni negatiivsuspiirkond f(x) < 0

Skitseeri funktsiooni graafik ning leia X, Y, X 0, X+, X-.

ü Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kasvavaks, kui x 2 > x 1 f(x 2) > f(x 1). ü Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kasvamispiirkonnaks ja seda tähistatakse sümboliga ü Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kahanevaks, kui x 2 > x 1 f(x 2) < f(x 1). ü Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kahanemispiirkonnaks ja seda tähistatakse sümboliga ü Pea meeles, et , kui X on funktsiooni määramispiirkond, siis

Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumkoht ja ekstreemumpunkt. Skitseeri graafik.

Kui funktsioon on diferentseeruv vahemikus (st. graafik omab puutujat selles punktis) ning – tuletis on positiivne s. t. f′(x)>0, siis funktsioon on kasvav antud vahemikus; – tuletis on negatiivne s. t. f′(x)<0, siis funktsioon on kahanev antud vahemikus; – tuletis on null s. t. f′(x)=0, siis funktsioon on konstantne.

Näide 1 Kas funktsioon y = x 3 - 12 x on kohal x 0=1 kasvav või kahanev?

Näide 2 Leia funktsiooni y = 2 x 3 - 54 x kasvamis- ja kahanemisvahemikud.

Näide 3 Leia funktsiooni y = (2 x-6)3 kasvamisvahemikud.

Meenuta – ekstreemum -ühine nimetus funktsiooni maksimumile ja miinimumile • Ekstreemumkoht • Ekstreemumpunkt (lad. k. äärmus)

Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine (kahanemine) läheb x suurenedes kohal x 0 üle kahanemiseks (kasvamiseks), siis on koht x 0 selle funktsiooni maksimumkoht (miinimumkoht) ja arv f(x 0) funktsiooni maksimum (miinimum). Punkt E(x 0; f(x 0)) on funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt).

Funktsiooni ekstreemumkohtadeks võivad olla ainult need argumendi väärtused, mille korral tuletis on null (puutuja on neil kohtadel paralleelne x-teljega) või puudub (puutujat joonestada ei saa – tegemist on katkevuskohaga). Funktsiooni maksimumi ja miinimumi tunnustes on oluline, et tuletise märk muutub. Tingimusest, et tuletis on null ei piisa selleks et funktsioonil oleks ekstreemumväärtus. Näiteks funktsioon y =x 3

Antud funktsioonil ei ole tuletist kohal 0 - tegemist on teravikpunktiga. Graafikult on näha, et funktsioonil on kohal x=0 miinimum.

Selleks, et leida funktsiooni y = f(x) maksimumi ja miinimumi tuleb toimida jargmiselt: a) leia võrrandi y′ = 0 kõik reaalarvulised lahendid (argumendi nn. kriitilised väärtused); b) uuri funktsiooni tuletise märki argumendi kriitiliste väärtuste ümbruses. Seega vaata kasvamine (+) läheb üle kahanemiseks (-), st. maksimumkoht või vastupidi kahanemine(-) läheb üle kasvamiseks (+), st. miinimumkoht; c) vajaduse korral leia ka funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktide ordinaadid, mida nimetatakse ekstreemumiteks

Antud funktsiooni tuletise tuletist nimetatakse selle funktsiooni teiseks tuletiseks ehk ka teist järku tuletiseks. y′′ = (y′)′ Füüsikaline sisu: teine tuletis on funktsiooni kiiruse muutumise kiirus ehk kiirendus. Funktsiooni n- ndat tuletist leitakse järgmiselt y(n) = (y(n – 1))′ Näide. Leia funktsiooni y = – 4 x 3 + 2 x 2 - 8 teine tuletis.

Funktsioonil y=(x) on kohal maksimum, kui Funktsioonil y=(x) on kohal miinimum, kui

Näide. Leia funktsiooni y = – 4 x 3 + 2 x 2 - 8 ekstreemum ja määra selle liik. 1. Leian funktsiooni tuletise. 2. Panen tuletise võrduma nulliga ja lahendan saadud võrrandi. 3. Kontrollin, kas on tegemist ekstreemumkohtadega ja määran liigi.

Lahendus 1. Skitseerin tuletisjoone ja kontrollin kasvamise ja kahanemise vaheldumist. Miinimumkoht, sest kahanemine läheb üle kasvamiseks Maksimumkoht, sest kasvamine läheb üle kahanemiseks

Lahendus 2. Lahendus 3. 1. Leian teise tuletise 2. Leian teise tuletise väärtuse tuletise nullkohtades on positiivne, st tegemist on miinimumkohaga on negatiivne, st tegemist on maksimumkohaga 3. Leian funktsiooni väärtused ekstreemumkohtadel ja kirjutan vastuse.