Funktsiooni uurimine tuletise abil Heldena Taperson www welovemath

Funktsiooni uurimine tuletise abil Heldena Taperson www. welovemath. ee

Meenuta • Määramispiirkond X • Muutumispiirkond Y • Funktsiooni nullkohad f(x) = 0 • Funktsiooni positiivsuspiirkond f(x) > 0 • Funktsiooni negatiivsuspiirkond f(x) < 0

Skitseeri funktsiooni graafik ning leia X, Y, X 0, X+, X-.

ü Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kasvavaks, kui x 2 > x 1 f(x 2) > f(x 1). ü Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kasvamispiirkonnaks ja seda tähistatakse sümboliga ü Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kahanevaks, kui x 2 > x 1 f(x 2) < f(x 1). ü Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kahanemispiirkonnaks ja seda tähistatakse sümboliga ü Pea meeles, et , kui X on funktsiooni määramispiirkond, siis

Leia funktsiooni kasvamisja kahanemisvahemikud, ekstreemumkoht ja ekstreemumpunkt. Skitseeri graafik.

Kui funktsioon on diferentseeruv vahemikus (st. graafik omab puutujat selles punktis) ning – tuletis on positiivne s. t. f′(x)>0, siis funktsioon on kasvav antud vahemikus; – tuletis on negatiivne s. t. f′(x)<0, siis funktsioon on kahanev antud vahemikus; – tuletis on null s. t. f′(x)=0, siis funktsioon on konstantne.

Näide 1 Kas funktsioon y = x 3 - 12 x on kohal x 0=1 kasvav või kahanev? Näide 2 Leia funktsiooni y = 2 x 3 - 54 x kasvamis- ja kahanemisvahemikud.

Näide 3 Leia funktsiooni y = (2 x-6)3 kasvamisvahemikud.

Meenuta – ekstreemum -ühine nimetus funktsiooni maksimumile ja miinimumile • Ekstreemumkoht • Ekstreemumpunkt (lad. k. äärmus)

Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine (kahanemine) läheb x suurenedes kohal x 0 üle kahanemiseks (kasvamiseks), siis on koht x 0 selle funktsiooni maksimumkoht (miinimumkoht) ja arv f(x 0) funktsiooni maksimum (miinimum). Punkt E(x 0; f(x 0)) on funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt).

Funktsiooni ekstreemumkohtadeks võivad olla ainult need argumendi väärtused, mille korral tuletis on null (puutuja on neil kohtadel paralleelne x-teljega) või puudub (puutujat joonestada ei saa – tegemist on katkevuskohaga). Funktsiooni maksimumi ja miinimumi tunnustes on oluline, et tuletise märk muutub. Tingimusest, et tuletis on null ei piisa selleks et funktsioonil oleks ekstreemumväärtus. Näiteks funktsioon y =x 3

Antud funktsioonil ei ole tuletist kohal 0 - tegemist on teravikpunktiga. Graafikult on näha, et funktsioonil on kohal x=0 miinimum.

Selleks, et leida funktsiooni y = f(x) maksimumi ja miinimumi tuleb toimida jargmiselt: a) leia võrrandi y′ = 0 kõik reaalarvulised lahendid (argumendi nn. kriitilised väärtused); b) uuri funktsiooni tuletise märki argumendi kriitiliste väärtuste ümbruses. Seega vaata kasvamine (+) läheb üle kahanemiseks (-), st. maksimumkoht või vastupidi kahanemine(-) läheb üle kasvamiseks (+), st. miinimumkoht; c) vajaduse korral leia ka funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktide ordinaadid, mida nimetatakse ekstreemumiteks