Forza gravitazionale di un corpo sferico omogeneo La

Forza gravitazionale di un corpo sferico omogeneo La forza con cui un corpo sferico omogeneo di massa M attrae un’altra massa è la stessa che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro della sfera : m F MT distanza dal centro della sfera omogenea m F U. Gasparini, Fisica I MT 1

“Guscio sferico” Forza esercitata sulla massa m. P da un “guscio sferico” di massa M: dm dr r C forza esercitata dall’ “anello” di massa d. M Ra J distanza da m. P a dm x forza esercitata da dm su m. P df = g m. Pdm / x 2 P a d. F m. P d. J R “anello” di raggio Ra=r sinq e massa d. M = d. V d. M U. Gasparini, Fisica I (vedi seguito) 2

r x J Differenziando: R Quindi: Forza esercitata dall’intero ‘guscio’ di massa M : U. Gasparini, Fisica I M massa del guscio sferico 3

Campo della forza gravitazionale Forza gravitazionale esecitata da una massa M su una massa m: F ( r ) = - g M m u. R r 2 r M m u. R F “Campo gravitazionale” generato dalla massa M: G(r) U. Gasparini, Fisica I P G( r ) º F( r ) = - g M u. R m r 2 “linee di forza” del campo: tangenti in ogni punto alla direzione del campo 4

Campo gravitazionale generato da due masse uguali: P 1 G P 2 Le linee di forza “visualizzano” l’andamento del campo; la loro densità è proporzionale all’intensità del campo. U. Gasparini, Fisica I 5

“Flusso” di un campo vettoriale “Flusso” del campo vettoriale G attraverso una superficie orientata infinitesima : G d. S= d. S u. N superficie di area d. S Flusso attraverso una superficie finita S: G U. Gasparini, Fisica I d. S 6

Teorema di Gauss : Il flusso del campo gravitazionale attraverso una qualsiasi superficie chiusa è proporzionale alla somma delle masse all’interno della superficie: G S mi Mj In particolare: S teorema di Gauss r G=-G(r )u R m U. Gasparini, Fisica I 7

Applicazione del teorema di Gauss : Forza gravitazionale all’interno di una sfera omogenea di massa M : G= - G( r) u. R r m(r) R Forza gravitazionale su una massa m a distanza r dal centro di una distribuzione sferica di raggio R e massa : r<R U. Gasparini, Fisica I r>R R r 8

Energia potenziale della forza gravitazionale m 1 ds F 2 M u. R ds Posto : U. Gasparini, Fisica I 9

“Velocità di fuga” E’ la minima velocità iniziale v 0 (nel punto a distanza r = R) necessaria per sfuggire all’attrazione gravitazionale ( Þ per arrivare ad r = ¥ con velocità nulla) U(r) R r Dalla conservazione dell’ energia meccanica: Per la Terra: Per il Sole: U. Gasparini, Fisica I 10

Il viaggio del “Voyager” Nella sua traiettoria, ha utilizzato i pianeti giganti come “fionde gravitazionali”, per raggiungere i pianeti esterni del sistema solare Giove (Feb. 1979) Terra (Sett. 1977) Saturno (Ott. 1980) Urano (Gen. 1986), Nettuno (Ago. 1989) Ha inviato i suoi ultimi segnali qualche hanno fa, dopo aver superato l’ orbita di Plutone; attualmente vaga nello spazio interstellare, a circa 10 miliardi di km da noi; è l’oggetto più lontano mai lanciato dall’ Uomo. Potrebbe raggiungere Proxima Centauri, la stella più vicina al Sole (4, 2 anni-luce), tra circa 40000 anni. U. Gasparini, Fisica I 11

“Curva di rotazione”(o cuva“kepleriana”) del sistema solare: dalla legge di gravitazione universale, per un pianeta in orbita circolare di raggio R: v(km/s) 40. Venere Terra 30. Marte 20. Giove Saturno 10. 0. 5 1. 5 2. Urano 2. 5 3. La curva di rotazione della nostra galassia (“Via Lattea”) non segue la stessa legge: 1. v(km/s) 200. Ammassi globulari Sole 100. U. Gasparini, Fisica I 50. 100. Grandi nubi di Magellano Piccole nubi di Magellano 150. 200. anni-luce 12

Curva di rotazione delle galassie La “curva di rotazione” delle galassie non segue la legge kepleriana : per spiegare l’andamento di v(r) delle stelle nelle galassie, misurato dall’osservazione del ‘redshift’ (= spostamento verso il rosso) degli spettri di emissione della luce, è necessario ammettere l’esistenza di materia oscura nell’Universo (es. : stelle di neutroni, buchi-neri, neutrini, nuove particelle di natura sub-nucleare…) che contribuisca alla massa totale della galassia stessa, sorgente della forza gravitazionale U. Gasparini, Fisica I 13