Elettroni nei semiconduttori Risolvendo leq di Schrodinger per

Elettroni nei semiconduttori Risolvendo l'eq di Schrodinger per un cristallo semiconduttore si ottiene una relazione di dispersione E-k. Struttura a bande Interessa soprattutto top della banda di valenza e fondo della banda di conduzione. Il top della banda di valenza occorre a k=0 Il fondo della banda di conduzione occorre a k=0 per alcuni semiconduttori (Ga. As, In. P, etc. ) Per altri occorre a k≠ 0 (Si, Ge, Al. As, etc. ) LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 1

Struttura a bande Gap Diretta intorno al minimo Gap Indiretta intorno al minimo Gap diretta → forte accoppiamento con la luce Gap indiretta → debole accoppiamento con la luce Massa efficace Conservazione del momento favorisce transizioni verticali Nel Si si hanno sei minimi equivalenti lungo l'asse x, y, z in corrispondenza del valore m*l massa longitudinale 0. 98 m 0 m*t massa trasversale 0. 19 m 0 LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 2

Struttura a bande Masse effettive più «pesanti» corrispondono a bande più «larghe» . E viceversa Minore il gap tra bande minori le masse efficaci Vicino al top della banda di valenza ci sono due curve. Buche pesanti Buche leggere In tutte le espressioni ricavate fin qui occorrerà usare la massa efficace al posto della massa reale dell'elettrone m 0 Gap diretta → m* unica Gap indiretta → m*DOS combinazione delle diverse masse effettive LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 3

Massa efficace in banda di conduzione Eq di un ellissoide di rotazione intorno a k 0 Assi a, b, b I 6 minimi equivalenti (±x, ±y, ±z) Numero di stati tra k 0 e k 0+dk Massa efficace in banda di valenza La banda di valenza è doppia Buche pesanti Buche leggere LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 4

Buche nei semiconduttori La banda di valenza è completamente piena. T=0 K La banda di conduzione è vuota La banda di valenza cede qualche elettrone. T>0 K Restano dei vuoti. La banda di conduzione acquista qualche elettrone La massa della buca è positiva (quella dell'elettrone mancante in banda di valenza sarebbe negativa) Lo stato vuoto è chiamato buca, ed è considerato una particella con carica e momento -ke LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 5

EX 2. 3 m 0=0, 91 x 10 -30 kg ħ=1, 05 x 10 -34 Js Calcoliamo l’energia di un elettrone e di una buca nella banda delle lacune pesanti di un semiconduttore a k=0, 1 Å-1 La massa della lacuna pesante è pari a m 0/2 L’energia di un elettrone in banda di valenza è Per cui LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 6

Silicio Relativamente facile da produrre Si lavora agevolmente Possiede un ossido naturale di alta qualità che può fungere da isolante Bandgap indiretta di 1. 11 e. V (300 K) Minimo della banda di conduzione è nella direzione k= 2 /a (0. 85, 0, 0) ] Parametro reticolare a=5. 43 Å Scarse proprietà ottiche (no laser) LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 7

Arseniuro di Gallio Struttura a bande molto buona. Non possiede un ossido che può fungere da isolante Bandgap diretta di 1. 43 e. V (300 K) Il fondo della banda di conduzione è isotropo → Superfici isoenergetiche sferiche Parametro reticolare a=5. 65 Å Ottime proprietà ottiche e di trasporto in banda di conduzione m*=0. 067 m 0 m*hh=0. 45 m 0 m*lh=0. 1 m 0 LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 8

Leghe di semiconduttori Si possono unire alcuni semiconduttori a formare delle leghe. (Parametri reticolari vicini) Alx. Ga 1 -x. As Bandgap da 1. 43 e. V a 2. 16 e. V (x=0 → 0. 45) Legge di Vegard Lega binaria Ex 2. 4 e Ex 2. 5 LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 9

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Portatori intrinseci Metalli → elettroni in banda di conduzione parzialmente piena. Densità molto alta ~1023 cm-3 Conduzione Semiconduttori → Banda di valenza piena Banda di conduzione vuota No corrente Ma se si creano degli elettroni in banda di conduzione e delle buche in banda di valenza. (Energia termica) Corrente di carica n densità di elettroni in banda di conduzione p densità di buche in banda di valenza Dipende dall'ampiezza della gap e dalla temperatura LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 11

Portatori intrinseci n densità di elettroni in banda di conduzione p densità di buche in banda di valenza Massa efficace della densità degli stati Approssimazione di Boltzmann E=0, 1 e. V → fatt exp 0, 01 Densità efficace degli stati in cima alla banda di valenza Densità efficace degli stati al fondo della banda di conduzione Ogni elettrone in conduzione ha lasciato una buca in valenza LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 12

Portatori intrinseci Non dipendente dalla posizione di EF Ma solo da T e proprietà intrinseche Legge dell'azione di massa Nc(cm-3) Nv(cm-3) ni=pi (cm-3) Si (300 K) 2. 78 x 1019 9. 84 x 1018 1. 5 x 1010 Ge (300 K) 1. 04 x 1019 6. 0 x 1018 2. 33 x 1013 Ga. As (300 K) 4. 45 x 1017 7. 72 x 1018 1. 84 x 106 LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 13

Densità dei portatori La concentrazione dei portatori intrinseci diminuisce esponenzialmente con la gap di banda. Dipende fortemente dalla temperatura. La concentrazione degli intrinseci è determinata da T: non può essere controllata esternamente Se la concentrazione di portatori intrinseci supera un valore di 1015 cm-3 il materiale non è più adatto per dispositivi (troppo intrinsecamente conduttivo) Interesse per semiconduttori ad alta gap (dispositivi ad alta temperatura) Diamante, Si. C, . . . Ma in presenza di impurezze la situazione è molto diversa. . . LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 14

Drogaggio: Donori e Accettori Per alterare la densità degli elettroni e delle buche nei semiconduttori e quindi ottenere valori di conducibilità maggiori, si inseriscono delle impurezze. DONORI: Aggiungono elettroni in banda di conduzione Atomi pentavalenti come P, As, Sb → Si o Ge. Atomi tetravalenti come Si, Ge come sostituenti del Ga o esavalenti come S come sostituti di As → Ga. As ACCETTORI: Aggiungono buche in banda di valenza Atomi trivalenti come B, Al, Ga → Si o Ge. Atomi tetravalenti come Si, C come sostituenti del As o bivalenti come Be, Mg come sostituti di Ga → Ga. As LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 15

Livelli di Donori e di Accettori Per i donori abbiamo un elettrone in più che vede una carica positiva schermata dalla costante dielettrica del materiale. Problema dell'atomo idrogenoide con massa efficace e potenziale schermato (e 0 e) La massa per i donori è la massa efficace di conduzione Per gli accettori abbiamo un elettrone+carica nucleare in meno. E' come se ci fosse un anti-atomo con nucleo negativo+carica positiva (buca) in più. La buca vede una carica negativa schermata dalla costante dielettrica del materiale. Problema Per gli accettori è generalmente usata mhh* dell'atomo idrogenoide invertito con massa efficace (mh*) e potenziale schermato (e 0 → e). Il livello di ionizzazione è EV e l'energia di legame è positiva ~1÷ 0. 1 ~ 0, 1 Ec-Ed~10 me. V Ev-Ea ~10÷ 100 me. V Ex 2. 12 LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 16

Calcoliamo le energie di livelli accettori e donori in Ga. As e Si Per il Ga. As la massa effettiva è 0, 067 m 0 e e=13, 2 e 0 Per il Si dobbiamo capire quale massa efficace dobbiamo usare nella espressione del livello donore La scelta giusta è di prendere la media degli inversi delle masse efficaci ovvero la massa efficace per la conduzione ms* La massa effettiva è 0, 26 m 0 e e=11, 09 e 0 Per i livelli accettori la questione è complicata dalla presenza delle due distinte bande di valenza. Una scelta ragionevole è di effettuare il calcolo considerando la massa effetiva di buca pesante. (0, 45 per Ga. As e 0, 5 per Si) LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 17

Portatori in semiconduttori drogati Nello stato di energia più bassa dell'atomo donore, l'elettrone extra è legato. Non può condurre. L'energia di ionizzazione è però bassa e confrontabile con l'energia termica. n-p≠ 0 Ma la legge di azione di massa è ancora valida np=ni 2 Infatti l'espressione per la densità di elettroni in banda di conduzione rimane sostanzialmente valida ma EF cambierà con il drogaggio. W. B. Joyce and R. W. Dixon, Appl. Phys. Lett. , 31, pp. 354, (1977) Possiamo scrivere EF ≠ EFi Soluzione numerica Joyce-Dixon Boltzmann T=0 Il livello di Fermi si sposta verso la banda di conduzione (tipo n). L'approssimazione di Boltzmann-Maxwell per la probabilità di occupazione comincia a perdere validità. In seguito assumeremo che tutti i donori o accettori sono ionizzati Ovvero metalli http: //ecee. colorado. edu/~bart/book/chapter 2/ch 2_ 6. htm LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 18

Popolazione dei livelli di impurezza A bassa temperatura tutti gli elettroni sono confinati. Freezeout Al crescere della temperatura la frazione di donori eccitati cresce fino alla completa ionizzazione e la densità di portatori diviene uguale alla densità di donori. Regione di saturazione A un certo punto inizieranno a crescere i portatori provenienti dalla banda di valenza Frazione di donori non ionizzati LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 19

Semiconduttori drogati pesantemente Al crescere della concentrazione di dopanti la situazione può complicarsi. Bande di impurezze Perturbazione della forma delle bande Restringimento della separazione di banda Un'espressione ragionevole per tale restringimento è: LM Sci&Tecn dei Materiali A. A. 2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 20