Diferentsiaalvrrandid Diferentsiaalvrrandi miste Harilikuks diferentsiaalvrrandiks ehk diferentsiaalvrrandiks nimetatakse

Diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandi mõiste Harilikuks diferentsiaalvõrrandiks ehk diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles otsitavaks on funktsioon y = y(x) ning mis seob funktsioon tema tuletistega ja sõltumatu muutujaga x. Seda võrrandit tähistatakse kujul Võrrandis esinevate tuletiste kõrgeimat järku nimetatakse diferentsiaalvõrrandi järguks. Näide on I järku võrrand. on eelmise võrrandiga samaväärne I järku võrrand.

Cauchy ülesanne Ülesannet, milles tuleb leida diferentsiaalvõrrandi lahend tingimusel kus on fikseeritud konstandid, nimetatakse algtingimustega ülesandeks e. Cauchy ülesandeks ja tingimust ülesande algtingimuseks. Näiteks on I järku Cauchy ülesandeks järgmine ülesanne: Leida funktsioon v(t), mis rahuldaks diferentsiaalvõrrandit ja algtingimust II järku Cauchy ülesanne:

Diferentsiaalvõrrandi lahendiks ehk integraaliks nimetatakse iga funktsiooni y = y (x), mille asendamisel võrrandisse saame samasuse. Näide Võrrandi lahendiks on iga funktsioon kus C 1 ja C 2 on suvalised konstandid, kuna ja asendades lahendi y(x) ning teist järku tuletise diferentsiaalvõrrandisse, saame samasuse: +

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend Diferentsiaalvõrrandi F(x, y, y’)=0 üldlahendiks nimetatakse funktsiooni kus c on suvaline konstant, mille korral on täidetud järgmised tingimused: 1. iga c korral rahuldab võrrandit F (x, y, y’)=0 ; 2. iga algtingimuse y (x 0) = y 0 korral leidub c nii, et Näiteks on diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks funktsioon sest 1) 2) iga algtingimuse y (x 0) = y 0 korral

Diferentsiaalvõrrandi erilahend Diferentsiaalvõrrandi F(x, y, y’)= 0 erilahendiks nimetatakse funktsiooni , mis saadakse üldlahendist konstandi c fikseerimisel. Näide Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks on funktsioon mis saadakse üldlahendist konstandi väärtuse korral. Diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju erilahendeid. Diferentsiaalvõrrandil võib olla ka lahend, mis ei ole erilahend. Sellist lahendit nimetatakse singulaarseks lahendiks.

Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul kus on muutuja x funktsioonid ning on muutuja y funktsioonid. Lahendamine 1. Eraldatakse muutujad: millest 2. Seosest leitakse üldlahend

Näide (1) On kindlaks tehtud, et igal ajamomendil on raadiumi lagunemiskiirus võrdeline tema massiga. Määrata raadiumi massi muutumise seadus sõltuvalt ajast, kui ajamomendil t = 0 on raadiumi mass m 0. Lahendus Olgu ajamomendil t raadiumi mass m, ajamomendil t + Dt vastavalt m + Dm. Ajavahemikus Dt lagunenud raadiumi mass on Dm. Suhe Dm / Dt on keskmine raadiumi lagunemiskiirus. Selle suhte piirväärtus on raadiumi lagunemise kiirus ajamomendil t.

Näide (2) Ülesande tingimuse kohaselt (1) kus k > 0 on võrdetegur. Miinusmärk näitab, et aja kasvades raadiumi mass kahaneb ja seega dm / dt < 0. Saadud võrrand (1) on eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Eraldame muutujad: Viimases võrrandis peab vähemalt üks korrutise teguritest olema null. 1) m = 0; 2)

Näide (3) Integreerime saadud võrrandit: millest Tähistame siis saame viimasest võrrandist Saime diferentsiaalvõrrandi (1) üldlahendi.

Näide (4) Paneme tähele, et esialgse ülesande suhtes sisaldab üldlahend ka võõrlahendeid: raadiumi mass ei saa oll negatiivne, seetõttu tehtud eelduse ( ) korral sobib esialgse ülesande lahendiks vaid lahend (2) Kui asendada nõue nõudega siis saame lahendi üldavaldisega (2) katta ka singulaarse lahendi m = 0. Üldlahendist (2) saame erilahendi algtingimusest m(0) = m 0 Seosest (2) saame sel korral: ja erilahendiks on: