Ch 8 CumulativeSum and Exponentially Weighted MovingAverage Control

Ch 8 Cumulative-Sum and Exponentially Weighted Moving-Average Control Charts Shewhart control chart：只用在最後畫的點關於 process的資訊，但忽略entire sequence of points 所透露的訊息。 • 使其對small shift（e. g. 1. 5 -sigma）非常insensitive。 • 加入supplemental sensitizing rules雖可提高其 power，但都也使其不易解釋Shewhart C. C. 。 1

兩種detect small shift的有效方法： 1. Cumulative sum control chart 2. Exponentially weighted moving average C. C. 舉例說明Shewhart C. C. 對shift的大小（≦ 1. 5 sigma） 的detect是不effective。 見附表 1及附圖。 對於small shift（≦ 1. 5 -sigma），可考慮cumulativesum control chart。 2

Page（1954）提出：Cusum（random walk with mean 0） Cusum的C. C. 對n=1時，特別effective！ 在此章，我們著重於process mean的cusum，但亦可將之 推廣到Poisson、Binomial、甚至standard deviation， 及 ranges。 3

n=1，individual observation 假設 為已知（或可估計） 為“target” value 當process drift或shifts off此target value時，cusum會 顯示signal，此時應試圖調整一些可操作的變數（ e. g. 加入觸媒的速度），使process back on target，或 尋 找是否有assignable cause存在。 5

Tabular Cusum的建法： 見附表 2 若 或 超過H（decision interval）時，則視 為out of control。其中一般取 。 6

Example 1 假設target value ，sample size n=1 資料見附表 1，假設要detect 見附表 2及附圖。 7

當process 產生shifts 之後，我們可利用下面的 方式來求新process的mean，藉此可協助決定 如 何調整manipulatable variable，以將process 的 mean調回原來的target value 8 。

Example 1的應用。 Runs tests或Zone rule或其他的sensitizing rule均不適用 於cusum（∵ 並不獨立）。 Cusum亦可視為一種weight average，其weight average 為stochastic或random。 e. g. Example 1中， 給最後 ， 個observations equal weight， 給其他的observation weight zero。 9

Cusum Design：決定reference value K and decision interval H（通常是由ARL來決定）。 當process的shift大約為 時，取 ，h=4 or 5， ，k=1/2，可有較好的ARL性質。 見附表 3，k=1/2，h=4、5時的ARL。 附表 4中，( h , k )使得其in control的ARL與Shewart相同， 當 shift= 時，我們可選擇k，使得其out of control的ARL 最小。 10

Siegmund’s approximation（1985）of the ARL for a onesided cusum： 當 當 ，則可以上式來approximate 11

Cusum chart對detect small shift是十分有效率的， 但對large shift卻不如Shewhart chart的有效。 改進之道：在線上（on-line）採用 combined Cusum-Shewhart procedure • 其中Shewhart control limits設為 center line（或target value） 。 • Cusum或Shewhart的out of control signal均視為 一個action signal。 • 見附表 5（a）、（b）。 Fast initial Response（by Lucas & Crosier（1982）or Headstart） 此法是用來改進Cusum在process start-up時的sensitivity。 16

令 及 （稱為 50 percent headstart） 1. 當process is in control，Cusum的點亦會很快的 回 歸到零（即擺脫掉此initial effect！） 2. 當process is out of control， Cusum的點則會較 快 e. g. 的超出H。 附表 6、附表 7。 17

見附表 5 column （c），採用 50 percent headstart。 ※ 注意在附表 5 column （c）的Cusum with FIR的ARL 是當process is out of control所求得。若process一開 始是 in control，則其 或 很快就會歸零，此後 若process才out of control，則其計算ARL的方法仍應 採用附表 5的column （a），而非column（c）。但若 process一開始即是out of control，則其計算ARL的方 式仍是採用column （c）。 18

Cusum for Monitoring Process Variability 令 ，此統計量對variance change比 對mean change更sensitive。（事實上對兩者均sensitive）。 20

當process是in control， approximately N(0, 1) distributed，故可以下法來建造其two-sided standardized scale Cusum： 其中 （但若使用FIR，其值可不為零。） Scale Cusum的解釋方式與mean的Cusum相同： 當process的standard deviation增加時， 亦會增加且超過h。 若process的standard deviation減少時， 會增加且超過h。 21

Hawkins（1993）建議，將Scale Cusum及mean的 Cusum畫在同一個圖上，有助於從Scale Cusum 來 detect process variability的改變能力。 若Scale Cusum signal，則可suspect variance發生 改變。 若mean Cusum與Scale Cusum同時發生改變，則應 suspect mean發生改變。 22

對於count data且其count rate非常低時，使用cusum特 別有效用（e. g. 在fraction nonconforming非常低時 （可以ppm計）），此時可採用between events的時 間 （e. g. 偵測到不良品的經過時間），當做quality characteristic建立time-between-events cusum來 detect count rate是否增加了，此等價於detect time between events是否decrease了，其cusum scheme如下： 其中k為reference value， = 從上次觀察到的count到此次count的時間。 23

另外亦可採用transformation的方法，將 先轉換 成approximately normal的r. v. ’s，再使用建立 mean cusum的方法。 The V-mask Procedure（skip）。 24

The Exponentially Weight Moving-Average Control Chart（EWMA） 此法是較Shewhart control chart更具有detect small shifts能力的control chart。 此法與cusum control chart是approximately equivalent。 通常適用於individual observation（即n=1），但亦可用 於n>1的情況。 Roberts（1959）所提出。 25

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EWMA Control Chart Example 2 Data 見附表 1，i. i. d. N(0, 1) 取 ，L=2. 7 見附表 9（計算 的值），及附圖。 27

如何決定EWMA control chart的L值及 值 （使其與cusum的ARL相近） 一般取 Use smaller value of （通常取 to detect smaller shifts。 當 大時，L=3 works reasonably well。 當 小時（e. g. ），取 2. 6≦L≦ 2. 8。 見附表 10，for 不同 與L的 如Example 2，取 ，L=2. 7 約與h=5、k=1/2的cusum相同。 28 ）。

EWMA比Shewhart chart更易detect small shift（此與 cusum的性質相同），但對large shift則不然（i. e. 較 Shewhart慢），可是對large shifts，EWMA又比 cusum 快detect shift（特別是當 chart的combination，既可保 ）。 可利用EWMA與Shewhart 留detect small shift的優點，又可改進detect large shift 的 能力（稱為Shewhart-EWMA control procedure）。 此時Shewhart chart取 與EWMA中的 ，亦可以將 畫在同一個control chart（採用不同 symbols 或colors）。 當n>1時，EWMA的應用僅須將 改為 即可。 EWMA十分robust ，見課本p. 433 Table 8 -11 。 29

EWMA的推廣 EWMS（Exponentially Weighted Mean Square Error） 當 大時， ，且若 其中 30 是獨立時，

若欲monitor process的standard deviation可採用下面的 EWRMS（exponentially weighted root mean square） 由於EWMS對process mean及standard deviation均 sensitive，故Mac. Gregor & Harris（1993）建議將 以 EWMA中的 取代之，而得到下面的EWMV （exponentially weighted moving variance）： 31

以下介紹數個modify EWMA的方法，以提高其預測 process mean的能力： Proportional adjustment 由於EWMA的 Integral Differential adjustment 為對時間i+1的預測值，故在control chart上，我們將 對i+1畫圖。 33

Moving Average Control Chart： w 與shift的大小約成反比，即欲偵測small shift， 則採用longer-span moving average。 34

Example 3 Data 見附表 1， w=5 見附表 11 ，及附圖。 Moving average彼此是highly correlated，故不適用runs 等法則。 Moving average C. C. 較Shewhart chart易detect small shift，但通常又比cusum或EWMA detect small shift的 能 力差，其優點是簡單、方便使用。 35