CCA 569 584 H SAMOS IONIA CCA 475

CCA 569 (584) ÎH, SAMOS, IONIA – CCA 475 (497) ÎH, METAPONT 1. VIAŢA ŞI ACTIVITATEA LUI PITAGORA 2. ŞCOALA LUI PITAGORA 3. CONTRIBUŢII ÎN GEOMETRIE ŞI ARITMETICĂ 4. DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI LUI PITAGORA 5. NUMERE IRAŢIONALE 6. ÎNCHEIERE

PITAGORA Motto: “Originar din Samos, un om, un muritor, Enunţă în Cretona perceptul uimitor, Înscris pe veci în templul Pitagorician Că numărul e lege, e unic suveran” Ion Grigore ۩ Pitagora - matematician şi filozof grec – “un gigant al înţelepciunii”, cum îl numea academicianul Octav Onicescu, a fost unul dintre primii deschizători de drumuri în matematica elină şi europeană; ﮬ a studiat cu Thales din Milet şi Anaximandru, a călătorit şi s-a instruit în Egipt şi Chaldeea; ﮬ s-a stabilit în Cretona, în sudul Italiei, unde a înfiinţat o şcoală filozofică “Şcoala pitagoreică” ce reunea peste 300 de pitagorieni. ﮬ s-a căsătorit şi a avut 3 urmaşi, o fată şi doi băieţi, unul dintre ei fiind mai târziu dascălul lui Empedocle. ﮬ Pitagora nu a lăsat nimic scris, de aceea este greu de delimitat concepţiile şi contribuţiile ştiinţifice şi filozofice proprii de ale discipolilor săi, mai ales că prima descriere a operei şi a şcolii sale a fost întocmită cu 13 decenii mai târziu. ﮬ Cu toate că Pitagora a rămas cunoscut în mod special datorită teoremei sale, el a realizat legătura dintre mărimi şi numere, dintre aritmetică şi geometrie, făcând pentru matematică un pas gigantic şi covârşitor.

Motto: “ Numerele guvernează lumea” ۩ La Cretona, Pitagora a înfiinţat o şcoală filozofică pe al cărei frontispiciu era scrisă deviza “ Numerele guvernează lumea”. ﮬ Din studiul numerelor, pitagorienii au conceput numerele figurative, numerele perfecte, numerele amiabile, au definit numere pare şi impare, au studiat media aritmetică, geometrică şi armonică, au descoperit iraţionalitatea – utilizând teorema ce-i poartă numele, cunoşteau cele cinci poliedre regulate, tabla înmulţirii şi sistemul zecimal. ﮬ În astronomie, ideea că Pământul se învârte în jurul unui ”foc central” apare pentru prima dată în cadrul şcolii pitagoriene. ﮬ Cu toate că poate ar fi fost mai corect ca alături de teorema catetei, şi a înălţimii să se numească eventual teorema ipotenuzei, Pitagora a rămas cunoscut în mod special datorită teoremei sale, deşi a fost descoperită cu mult înaintea lui Pitagora şi se presupune că doar a extins-o la triunghiuri dreptunghice ale căror laturi sunt exprimate prin orice număr pozitiv (iniţial erau numai numere naturale).

ﮬ Se spune că pitagorienii au interzis divulgarea marii teoreme, deoarece într-un pătrat ducea la relaţia ca diagonala este egală cu produsul dintre lungimea laturii şi √ 2 , o adevărată erezie pentru cei ce nu acceptau decât numere raţionale pentru descrierea fenomenelor naturii, deci şi a geometriei. ﮬ Vechii constructori egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie cu 12 noduri echidistante, legată sub formă de inel şi fixată cu 3 ţăruşi şi obţineau un triunghi dreptunghic cu laturile de (3; 4; 5), utilizând astfel reciproca teoremei lui Pitagora. ﮬ De altfel, teorema aceasta face parte din categoria teoremelor la care s-au înregistrat în decursul timpului recordul demonstraţiilor (se presupune că aproximativ 2000 de demonstraţii, din care 8 aparţin unor profesori români).

۞ Pitagoricienii reprezentau numerele sub forma unor puncte aranjate în diferite moduri. După modul de aranjare numerele puteau fi: liniare, plane sau solide, obţinând astfel geometria pe o dreaptă, geometria plană sau geometria în spaţiu. ۞ Cele mai simple numere liniare, plane sau solide sunt numerele 2, 3, 4. Numărul doi determină poziţia unei drepte, numărul trei determină cea mai simplă figură plană – triunghiul, iar numărul patru determină cel mai simplu corp din spaţiu, tetraedrul. ۞Tot pitagoricienii au introdus pentru prima dată noţiunile de: ▪ Numere triunghiulare – se pot aşeza sub forma din figura următoare, iar suma primelor “n” numere naturale va fi:

▪ Numere pătratice – se obţin din numerele triunghiulare aşezându-le unul lângă altul; se constată că suma primelor n numere impare formează un pătrat de latură n, iar suma primelor numere impare va fi: 1 + 3 + 5 +. . . + (2 n-1) = n 2. ▪ Numere pentagonale – se obţin prin reunirea a trei numere triunghiulare ▪ În acelaşi mod se pot obţine numerele hexagonale; ▪ Geometria figurativă în spaţiu a condus la studierea numerelor solide, cele mai simple fiind numerele tetraedrale. Aceste numere se obţin prin suprapunerea numerelor triunghiulare aşezate pe plane paralele, determinându-se astfel tetraedre ale căror feţe sunt triunghiuri echilaterale. ▪ Analog erau formate şi alte numere solide: numerele cubice, paralelipipedice, prismatice, piramidale…. Dintre toate aceste denumiri folosite pentru numere figurative se mai păstrează azi pătratul şi cubul unui număr.

▪ Pitagora a întocmit de asemenea şi Tabela înmulţirii, cunoscută şi sub numele de Tabela lui Pitagora sau Tabla înmulţirii, piatra de încercare a oricărui şcolar care vrea să pătrundă în tainele socotitului. ▪ În geometrie i se atribuie propoziţia din care rezultă că: “un plan poate fi acoperit cu poligoane regulate identice dacă folosim triunghiuri echilaterale, pătrate sau hexagoane”. ▪ În şcoala pitagoreică au fost studiate de asemenea şi numerele perfecte ( cele care au suma divizorilor S, exceptându-se pe sine, egală cu numărul N, ex. 6, 28, 496), numerele imperfecte ( S<N), supraperfecte (S>N), dar şi numerele prietene ( fiecare din ele este egal cu suma divizorilor celuilalt, ex. 220 şi 284) ▪ Teoria cosmogonică a lui Pitagora presupune că toate corpurile cereşti erau situate pe zece sfere şi se roteau pe nişte traiectorii circulare în jurul unui foc sacru. Apare pentru prima dată ideea că pământul nu se află în centrul lumii, abandonânduse teoria geocentrică: ▪ Pitagora a avut contribuţii şi în teoria muzicală, prin enunţarea următoarelor legi fundamentale: 1. Lungimea corzilor este invers proporţională cu frecvenţele sunetelor emise. 2. Legea consonanţei: Sunetele muzicale (consonanţele) se obţin numai atunci când lungimile corzilor ce le emit, se află întrun raport exprimat prin numere întregi.

TEOREMA LUI PITAGORA Cel mai cunoscut rezultat care îi aparţine lui Pitagora, este, fără îndoială: teorema care îi poartă numele. Aceasta este una din cele mai vechi teoreme cunoscute în geometrie şi s-a bucurat în toate timpurile de o mare popularitate, atât prin aplicaţiile ei în ştiinţă şi în tehnică, prin generalizările şi particularizările ei sub diferite aspecte, dar mai ales prin numărul mare de demonstraţii ce i s-au dat. Proclus Diadochus (410 -485 e. n), unul din principalii comentatori ai celebrelor Elemente ale lui Euclid, arată că teorema lui Pitagora i-a fost atribuită acestuia de către Plutarh, Diogene Laertius şi Atheneus. Legenda spune că Pitagora a adus jertfă zeilor 100 de boi pentru această frumoasă descoperire. Se ştie că teorema lui Pitagora era cunoscută de babilonieni şi de egipteni cu mult înaintea lui, pentru anumite cazuri particulare, dar nedemonstrată în general pentru toate triunghiurile dreptunghice. TEOREMA LUI PITAGORA – Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei C A B

4. DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI LUI PITAGORA I. Din antichitate: - patrulaterul din interior se arată că este pătrat - se scrie aria pătratului mare în două feluri: a a c b. II. Abraham Garfield (fost preşedinte SUA) - se arată că triunghiul obţinut este dreptunghic isoscel - se scrie aria trapezului în două moduri a b c

III. Bhaskara (sec, XII. ) - patrulaterul din interior este pătrat - aria pătratului mare: IV. Bèzout (1768) A B C D - DAC DBA ABC

Aparitia numerelor irationale • Se presupune ca primul număr irational aparut in matematici a fost √ 2. Într-adevăr, aplicând Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic isoscel ABC, se obtine d = ; dacă a = 1 d = √ 2 şi deci diagonala patratului este incomensurabila cu latura sa. Platon era convins ca irationalitatea numarului √ 2, prezinta o importanta deosebita in geometrie si trebuie cunoscuta de toti oamenii caci spunea el : “Nu e demn sa poarte numele de om acela care nu stie ca diagonala patratului este incomensurabila cu latura sa” • Teorema lui Pitagora ne conduce astfel la segmente incomensurabile deoarece nu se poate gasi o masura comuna pentru latura si diagonala unui patrat. Astfel de numere erau considerate in acea vreme, ca inaccesibile gandirii umane. Numarul √ 2 nu putea fi exprimat ca rapot a doua numere intregi, oricare ar fi fost aceste numere. Dar aceasta constatare era in contradictie flagranta cu ideea pe care se sprijinea intregul edificiu al scolii pitagoreice care sustine ca la baza tuturor lucrurilor stă numarul intreg.

Spirala lui Arhimede Construirea numerelor iraţionale se poate face uşor cu rigla şi compasul , folosind Teorema lui Pitagora, teorema catetei sau teorema înălţimii. • Folosind initial un triunghi dreptunghic ale carui catete sunt egale cu unitatea si Teorema lui Pitagora se pot obtine succesiv numerele irationale. • In figura alăturată au fost construite in acest mod numerele irationale consecutive

ÎNCHEIERE • Nu departe, la nord de antica Crotona, unde profesa Pitagora, ( cunoscută astăzi sub numele de Cortona), pe drumul ce duce spre Metapont (astăzi Taranto), unde legenda spune că ar fi murit Pitagora, există o regiune mică cunoscută sub numele ei latin de Terra Imaginalionis. • În această regiune, nu departe de autostrada care şerpuieşte de-a lungul coastei calabreze, se află micul cătun San Mathesis. Aici, în afara satului, se găseşte o capelă gotică cunoscută sub numele de Capela Pitagora. În această capelă, pe podea, în faţa altarului, se află o lespede de marmura albă ştearsă de veacuri şi de miile de pelerini ce au trecut pe aici. • Din inscripţia de pe ea numai câteva litere mai pot fi desluşite: HI…C. T…OS…T…G…S…S care arată cu siguranţă că în timpurile de demult, legenda spunea că: “ AICI SE ODIHNESC OASELE LUI PITAGORA DIN SAMOS”

• Singurul locuitor al capelei este un preot cu o sutană lungă, care ţine aprinse, zi şi noapte, cinci candele aşezate în cinci firide în jurul altarului, ca o dovadă că Pentagrama (pentagonul stelat) era semnul de unire al pitagoreicilor. Acest preot povesteşte oricărui călător care vizitează capela – semnificaţia acestor cinci candele. • PRIMA din aceste candele este Lampas Utilitatis. Ea ne arată că nu putem împărtăşi matematica marii mulţimi a poporului, decât dacă ne oprim mai întâi asupra utilităţii ei şi ne putem imagina uşor ce s-ar întâmpla omenirii, dacă ar înceta să existe orice urmă de ştiinţă matematică. A DOUA candelă este Lampas decoris, candela frumuseţii. Adevăratul succes în predarea matematicii este posibil, numai dacă ştim că această disciplină este tot atât de frumoasă pe cât de utilă. A TREIA este Lampas Imaginationis - un nume care pare întotdeauna potrivit cu o capelă medievală în care ard candele sfinte, căci ce-ar fi matematica fără imaginaţia devotaţilor ei, uriaşilor şi învăţăceilor ei.

A PATRA candelă este Lampas poesis, candela poeziei. Ea ne arată că acei care n - au simţit poezia matematicii, ar fi mai bine să înceteze a mai profesa această ştiinţă, căci altfel eforturile lor sunt zadarnice. A CINCEA este Lampas misteri – pentru că ea descoperă lumii unul din marile farmece ale ştiinţei, fiind – nu de puţine ori – misterioasă şi provocatoare. “Nu ce spun zeii, regii e adevăr curat, Ci doar ceea ce poate să fie demonstrat, Când scoatem adevărul, ce nu-i un simplu joc, Demagogie, mituri, nu-şi au aicea loc. Cu-aceste-nvăţăminte, ce stau ca ideal Valabil peste secoli, rămâi universal, Sporit-ai patrimoniul întregii omeniri, Asigurându-ţi nimbul supremei Nemuriri” Ion Grigore