Ad ogni matrice quadrata A di ordine n

Ad ogni matrice quadrata A di ordine n risulta sempre possibile associare un numero reale chiameremo determinante di A An det A = |A| Determinanti del primo ordine det A = |A | = a = (a ) A 1 = (a 11 ) A 1 = (2) 1 1 11 det A 1 = |A 1| = 2 n = 1

Determinanti del secondo ordine n = 2 det A 2 = |A 2| = a 11 a 22 a 12 a 21 det A 2 = |A 2| = = = (1)( 1) (1)(3) = 1 3 = 4 det A 2 = |A 2| = = = (4)(0) (1)(3) = 0 3 = 3

Determinanti del terzo ordine n = 3 det A 3 = |A 3| = = a 11 a 22 a 33+ a 12 a 23 a 31+a 13 a 21 a 32+ (a 13 a 22 a 31+ a 11 a 23 a 32+ a 12 a 21 a 33) Prima regola pratica! Per calcolare il determinante di una matrice A basta riscrivere, accanto alla matrice A, le prime due colonne di A e poi sommare tra di loro i prodotti degli elementi che si trovano sulle diagonali principali a cui vanno sottratti tutti i prodotti degli elementi situati sulle diagonali secondarie Metodo di Sarrus

det A 3 = |A 3| = = (1)(7)(3) + (3)(4)(6) + (5)(2)(8) + [(5)(7)(6) + (1)(4)(8) + (3)(2)(3)] = = 21+72+80 [210+32+18] = = 173 260 = 87 det A 3 = |A 3| = = = (3)(4)(5) + (2)(2)(3) + ( 1)( 5)( 7) + [( 1)(4)(3) + (3)(2)( 7) + (2)( 5)(5)] = = 60+12 35 [ 12 42 50] = = 37 [ 104] = +141 =

Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce minore complementare Aij dell’elemento generico aij della matrice A il determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce complemento algebrico Aij dell’elemento generico aij della matrice A il minore complementare di aij, preso con il segno positivo o negativo a seconda che i+j sia rispettivamente pari o dispari Aij = ( 1)i+j Aij

A 11 = =(21 32)= 11 è il minore complementare di a 11=1 A 12 = =(6 24)= 18 è il minore complementare di a 12=3 A 13 = =(16 42)= 26 è il minore complementare di a 13=5

A 21 = =(9 40)= 31 è il minore complementare di a 21=2 A 22 = =(3 30)= 27 è il minore complementare di a 22=7 A 23 = =(8 18)= 10 è il minore complementare di a 23=4 A 31 = =(12 35)= 23 è il minore complementare di a 31=6 A 32 = =(4 10)= 6 è il minore complementare di a 32=8 A 33 = =(7 6)=+1 è il minore complementare di a 33=3

A 11 = ( 1)i+j Aij = ( 1)1+1 A 11 = +(21 32)= 11 è il complemento algebrico di a 11=1 A 12 = ( 1)i+j Aij = ( 1)1+2 A 12 = (6 24)=+18 è il complemento algebrico di a 12=3 A 13 = ( 1)i+j Aij = ( 1)1+3 A 13 = +(16 42)= 26 è il complemento algebrico di a 13=5

A 21 = ( 1)i+j Aij = ( 1)2+1 A 21 = (9 40)=+31 è il complemento algebrico di a 21=2 A 22 = ( 1)i+j Aij = ( 1)2+2 A 22 = +(3 30)= 27 è il complemento algebrico di a 22=7 A 23 = ( 1)i+j Aij = ( 1)2+3 A 23 = (8 18)=+10 è il complemento algebrico di a 23=4 A 31 = ( 1)i+j Aij = ( 1)3+1 A 31 = +(12 35)= 23 è il complemento algebrico di a 31=6 A 32 = ( 1)i+j Aij = ( 1)3+2 A 32 = (4 10)=+6 è il complemento algebrico di a 32=8 A 33 = ( 1)i+j Aij = ( 1)3+3 A 33 = +(7 6)=+1 è il complemento algebrico di a 33=3

Data una qualunque matrice A di ordine m n si definisce minore estratto dalla matrice A il determinante ottenuto da A cancellando i righe e j colonne in modo tale che risulti m–i = n–j Ogni elemento di una qualunque matrice rappresenta un minore del primo ordine N. B. ! Data una qualunque matrice rettangolare A di ordine m n risulta sempre possibile calcolare i suoi minori aventi per ordine il più piccolo tra i numeri m ed n

n=2<m=3 sono i minori estraibili da A del secondo ordine |1|, |2|, |3|, |5|, |7|, |9| sono i minori estraibili da A del primo ordine m=2<n=3 sono i minori estraibili da A del secondo ordine |1|, |2|, |3|, |2|, | 1|, |0| sono i minori estraibili da A del primo ordine

m=3<n=4 sono tutti i minori estraibili da A del terzo ordine sono solo alcuni minori estraibili da A del secondo ordine

Per calcolare il determinante di una matrice A di ordine n 3 (n = 3, 4, 5, 6, …) occorre fissare una riga (o colonna) a proprio piacere e poi sommare i prodotti degli elementi di tale riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici

Seconda regola pratica! Per calcolare il determinante di una matrice A di ordine n 3 (n = 3, 4, 5, 6, …) si procede come segue: si fissa a priori una riga (o una colonna) a proprio piacere si applica la regola dei segni (si parte sempre dall’elemento a 11, a cui va attribuito il segno positivo; si procede, per righe e per colonne, mai per diagonali, a segni alterni; il procedimento si arresta nel momento in cui, a ciascun elemento della riga o colonna scelta a priori, è stato attribuito un segno) si sommano i prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi della riga (o colonna) scelta per i propri minori complementari Metodo di LAPLACE

A è una matrice quadrata di ordine n = 3 A è una matrice quadrata di ordine n 4 (n = 4, 5, 6, …)

n= 3 = 141 (cfr. slide 11) det A 3 = |A 3| = fissiamo, ad esempio, la prima riga per la regola dei segni + +

det A 3 = |A 3| = = 141 N. B. ! Nel caso di una matrice quadrata A di ordine n è sempre possibile calcolare il suo determinante applicando indifferentemente uno dei due metodi proposti

n= 4 fissiamo, ad esempio, la terza riga per la regola dei segni + + det A 4 = +

Risulta ora possibile calcolare i determinanti del terzo ordine, utilizzando uno dei due metodi, in maniera del tutto arbitraria Nel caso in esame sarà sufficiente calcolare gli ultimi due determinanti di ordine 3 (gli altri sono moltiplicati per 0, quindi il risultato del prodotto sarà nullo!!!) det A 4 = = 16 N. B. ! Come risulta facilmente intuibile dall’esempio, nell’utilizzare il metodo di Laplace conviene fissare sempre una riga (o una colonna) nella quale ci sia un maggior numero di zeri (i calcoli si semplificano!!!)