4 2 1 Jatkuvan funktion nollakohdat Lause Jatkuvan

4. 2. 1. Jatkuvan funktion nollakohdat Lause (Jatkuvan funktion nollakohtalause) Jos jatkuva funktio saa erimerkkiset arvot kohdilla x = a ja x = b, niin funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]a, b[ (ks. kuviot s. 121) Osoitus Osoita, että funktio on jatkuva ja saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä Jos päätepisteitä ei ole annettu, yritä löytää sopivat x: t päätepisteiksi

E. 1. Osoita, että funktiolla f(x) = x 3 - x - 1 on ainakin yksi nollakohta välillä [1, 2] Funktio on polynomifunktiona jva välillä [1, 2] f(1) = 12 – 1 = -1 < 0 f(2) = 23 – 2 – 1 = 5 > 0 Jatkuvan funktion nollakohtalauseesta seuraa väitös

E. 2. Osoita, että funktiolla f(x) = x 5 - 3 x 4 + 1 on ainakin yksi nollakohta. Funktio on polynomifunktiona jva f(0) = 05 – 3 04 + 1 = 1 > 0 f(1) = 15 – 3 14 + 1 = -1 < 0 Jatkuvan funktion nollakohtalauseesta seuraa väitös

Nollakohdan likiarvon määrittäminen halutulla tarkkuudella Haarukoi päätepisteiden x: ien väliä pienemmäksi niin kauan, että saat pyöristyksen haluttuun tarkkuuteen E. 3. Osoita, että funktiolla f(x) = x 3 - x - 1 on positiivinen nollakohta. Määritä se 0, 001 tarkkuudella. x 1 2 1, 3 1, 4 f(x) + + 1, 32 1, 33 1, 324 1, 325 + + 1, 3245 V: 1, 325 Nollakohta x 0 välillä 1 < x 0 < 2 1, 3 < x 0 < 1, 4 1, 32 < x 0 < 1, 33 1, 324 < x 0 < 1, 325 1, 3245 < x 0 < 1, 3250

Osoitus, että funktiolla on täsmälleen yksi nollakohta A. On oltava ainakin yksi nollakohta, eli f on jatkuva ja saa erimerkkiset arvot B. Nollakohtia on täsmälleen yksi, jos vielä funktio on aidosti monotoninen

E. 4. Osoita, että funktiolla f(x) = x 3 + 2 x - 6 on täsmälleen yksi nollakohta. Funktio on polynomifunktiona jva f(1) = 13 + 2 1 – 6 = -3 < 0 f(2) = 6 > 0 Funktiolla nollakohtalauseen perusteella ainakin yksi nollakohta f ’ (x) = 3 x 2 + 2 on aina positiivinen, joten funktio aidosti kasvava (monotoninen) Tästä seuraa väitös.